1.1 向量究竟是什么 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01先把向量看成一次位移

想象在一张地图上先走 $u$ ，再走 $v$ 。第二段路可以搬到第一段的终点，方向和长度却不改变。右图的虚线正是在做这个搬移；红色箭头只记录起点到最终位置的总变化。它不记录走过的路径，所以同一位移可以由不同路线实现。

02数乘改变的是位移的份数

把系数 $s$ 改为二，相当于沿 $u$ 连走两次，再走一次 $v$ 。总位移是 $su+v$ ，横纵两个分量分别累加。这里的加法并非任意规定：它来自每个坐标方向上净位移的相加，因此与先后分组无关。负系数则把相应位移反向。

03方向数目与独立信息

让两根箭头共线后，虽然仍可以填写两个系数，终点却只能沿一条直线移动。图形帮助我们分辨两个数字和两份独立信息。若两根箭头不共线，改变两个系数才能分别控制平面内的两个方向；这就是下一节讨论基的原因。

1.1.1 先问：我们究竟想记录什么？¶

假设你在地图上先向东走两格，再向南走一格。别人从另一个地点照做，到达的地点不同，但完成了同一个位移。向量首先记录这种可以搬动而不改变的动作。画箭头时，起点可以换，方向与长度却不能随意换。“从原点出发的箭头”只是方便的画法，并不是向量的全部含义。

把这段路写成 $(2,-1)$ ，两个数其实是两条指令：沿第一个基方向走两份，沿第二个基方向走负一份。坐标不是贴在箭头上的永久标签；换一套方向与单位，同一位移会得到另一组数。因此阅读坐标之前，要先问坐标轴怎样选、每格代表什么。若两个分量分别记录温度和质量，也不能直接赋予欧氏长度一个物理意义。

1.1.2 让运算来自动作¶

再接着走 $(-1,3)$ ，横向净移动一格、纵向净移动两格，所以相加可以逐坐标进行。把整条路线走两遍，每一步都扩大两倍；“先合并再扩大”与“分别扩大再合并”得到同一结果。分配律由此成为两种操作顺序的一致性要求。

先画首尾相接的箭头，再把它们搬到共同起点，补成平行四边形。两幅图为什么指向同一终点？回答这个问题，就把几何相加与坐标相加接了起来。后面遇到有几百个分量的数据向量，虽然画不出箭头，逐项加法与整体缩放仍保留这套结构。下一节将追问：只给少数几个方向，能拼出多少向量？

定义 1.1.1　线性组合

给定向量 $u,v$ 与标量 $s,t$ ，向量 $su+tv$ 称为它们的线性组合。系数记录每个方向参与的份额；负系数表示反向。

命题 1.1.1　向量平移不改变合位移

在同一向量空间中，先走 $u$ 再走 $v$ 的总位移为 $u+v$ ，与先走 $v$ 再走 $u$ 相同。

证明 · 展开纸笔推导

用坐标表示 $u=(u_1,u_2)$ 、 $v=(v_1,v_2)$ 。第一条路径的终点是 $(u_1+v_1,u_2+v_2)$ ，第二条路径的终点是 $(v_1+u_1,v_2+u_2)$ 。

实数加法交换律使两点一致。这里比较的是终点位移；两条路径的中间位置可以不同，所以不能把结论改写为两次运动在每一时刻都相同。

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数学表述 1.1.1¶

向量可以看成位移、按顺序排列的特征，或满足加法与数乘规则的对象。坐标依赖基的选择，而向量本身不必依赖某一组坐标。

在 $\mathbb{R}^2$ 中， $(x,y)+(u,v)=(x+u,y+v)$ ， $a(x,y)=(ax,ay)$ 。数乘对加法分配： $a(u+v)=au+av$ ，这保证“先合并再缩放”和“先缩放再合并”一致。

例 1.1.1 把概念用于具体计算

取 $u=(2,-1),v=(-1,3)$ ，则 $u+v=(1,2)$ ， $2(u+v)=(2,4)=2u+2v$ 。箭头首尾相接给出同一个结果。

练习 1.1.1¶

求 $3(1,-2)-2(-1,1)$ 。

展开解答与检查

答案为 $(5,-8)$ ；交换数乘与相减顺序不会改变结果。

Lean 对照 1.1.1 命题、证明与适用边界

在实数对上完整验证数乘分配律；没有把几何直觉替代成浮点数计算。

LinearAlgebra.vectors_distribute

theorem vectors_distribute (a : ℝ) (u v : ℝ × ℝ) :
    a • (u + v) = a • u + a • v := smul_add a u v

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原课对照观课问题、视频与图示

先观察同一个箭头平移后哪些性质保持，再把向量相加解释成两段位移的合成。

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