1.7 逆矩阵、列空间与零空间

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01求解就是追问输出来自哪里

固定矩阵后，拖动左图输入并追踪右图红点。方程 $Ax=b$ 要求找到落到指定输出 $b$ 的输入。对于非零行列式的方阵，每个目标恰有一个原像；逆矩阵记录这条反向寻找规则。

02压扁时同时出现不可达与不唯一

两列共线后，输出被限制在一条线上。线外目标没有解；线内目标通常有整条输入线作为原像。沿着被压成零的方向移动输入，输出不变，这就是核。不要把不可逆简单理解成每个方程都无解。

03把图像整理成解集的证明

若 $x_0$ 已是一个解，且 $Av=0$ ，线性性给出 $A(x_0+v)=b$ 。反过来，任意另一个解减去 $x_0$ 后都被送到零。因此解集恰为 $x_0$ 加上核；这些平行原像族可以由这两步等式完整解释。保持压扁情形，沿核方向拖动输入，就能检查输出是否保持不变。

1.7.1 解方程是在寻找运动的起点¶

把 $Ax=b$ 读成“哪个输入经过 $A$ 后落在 $b$ ”。所有可达位置是矩阵列向量的线性组合，组成列空间。若目标不在其中，怎样调输入都不会成功；目标可达之后，才轮到讨论起点是否唯一。

考虑 $(x,y)\mapsto(x+y,2x+2y)$ 。输出的第二分量总是第一分量的两倍，故 $(3,7)$ 不可达，而 $(3,6)$ 可达。对后者， $(3,0)$ 和 $(2,1)$ 都是起点；两输入的差 $(1,-1)$ 被送到了零。

1.7.2 零空间保存不可见的变化¶

沿 $(1,-1)$ 走任意距离，一坐标增加、另一坐标减少，和不变。核描述的正是输出无法看见的输入变化。若已找到一个解 $x_0$ ，加任意核向量仍是解；反过来，任意另一个解减去 $x_0$ ，由线性性也在核里。于是整个解集是一份平移过的零空间。

逆矩阵要求每个目标恰好对应一个起点：既没有不可达目标，也没有丢失方向。在同维有限维空间中，这两方面相联系；对方阵，又与非零行列式相联系。非方阵的两种要求却可能分别成立，下一节会把它们拆开。

练习时按这个顺序思考：先判断右端是否可达，再找一个特解，最后找所有不可见的变化。这样既能解释无解和多解，也能把计算与张成、基和面积压缩接起来，而不是试图把“除以矩阵”当成通用规则。

与本图相连的定义与证明：1.3 · 基向量的像决定整个映射。本节的具体条件与形式化范围见下文。

数学表述 1.7.1¶

$Ax=b$ 是寻找能被送到 $b$ 的输入。列空间描述可到达的输出，零空间描述被压成零的方向。

若 $x_0$ 是一个解，则所有解为 $x_0+\ker A$ 。方阵可逆当且仅当其零空间只有零向量，也等价于行列式非零。

例 1.7.1 把概念用于具体计算

$A=\left[\begin{smallmatrix}1&1\\2&2\end{smallmatrix}\right]$ 的列空间为 $\operatorname{span}(1,2)$ ，零空间为 $\operatorname{span}(1,-1)$ 。 $Ax=(3,6)$ 的解是 $(3,0)+t(1,-1)$ ；右端若为 $(3,7)$ 则无解。

练习 1.7.1¶

可逆矩阵的两个不同输入能有同一输出吗？

展开解答与检查

不能；相减后得到一个非零零空间向量，与可逆性矛盾。

Lean 对照 1.7.1 命题、证明与适用边界

证明给任意输入加上核中的向量不会改变输出；形式化的是解集结构的核心方向。

LinearAlgebra.kernel_translation

theorem kernel_translation (T : (ℝ × ℝ) →ₗ[ℝ] (ℝ × ℝ))
    (x v : ℝ × ℝ) (hv : T v = 0) : T (x+v) = T x := by simp [hv]

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原课对照观课问题、视频与图示

找出哪些输入会落到同一个输出，并用零空间解释这种信息丢失。

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