1.14 特征向量与特征值 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01一般输入会同时改变长度与方向

把绿色向量拖到普通方向，红色输出通常不与它共线。若反复作用，方向也会不断调整。寻找特征向量的动机，就是找出能把这种二维混合简化为一维倍率变化的特殊方向。

02保持的是直线，不一定是箭头朝向

当输入落在虚线上，输出与它共线，满足 $Av=\lambda v$ 。正倍率保留朝向，负倍率反转朝向，零倍率把非零向量压成零；三者都符合特征方程。定义要求 $v$ 非零，否则任意数都会满足方程。

03用另一方向补全分解

右图的实对称例子有两条互相垂直的特征方向，可把任意输入分成这两份。反复作用时，两份坐标分别乘倍率的幂。这个例子的完整分解不能自动推广为“每个实矩阵都有两条实特征方向”，旋转矩阵就是需要注意的情形。

1.14.1 寻找没有偏离原直线的方向¶

一般向量经过矩阵后方向与长度都变，但某些方向只伸缩，仍在原直线上。找到这些方向，就可能把复杂动作拆成几种互不干扰的伸缩。特征向量是这些方向上的非零向量；倍率可以为负，表示反向，也可以为零，表示该方向被压掉。

对 $A=\left[\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}\right]$ ， $(1,1)$ 变为 $(3,3)$ ， $(1,-1)$ 不动。任意输入都可用这两方向拼成，每作用一次只需把第一份系数乘以 $3$ 。多次作用后的主要增长方向因此一眼可见。

1.14.2 特征方程为什么出现¶

要求 $Av=\lambda v$ 且 $v\ne0$ ，等价于要求 $A-\lambda I$ 有非零核。也就是从原动作中减去统一伸缩之后，能否压掉某个方向。对方阵，这要求行列式为零，所以保留方向的问题转成关于倍率的多项式方程。

求出根后仍需找向量。四分之一圈的实平面旋转没有实的保留直线，所以没有实特征向量；非平凡剪切可能只有一条保留直线，不足以组成基。能对角化要求足够多独立特征向量，不能只检查特征值存在。

在矩阵实验中选择对称示例，转动输入方向，预测哪两条线被保留。再把任意输入拆成这两个方向，预测四次作用的结果。计算应来自系数的幂，而非逐次展开四个矩阵；这是几何理解带来的实际收益。

定义 1.14.1　特征向量与特征值

若非零向量 $v$ 满足 $Av=\lambda v$ ，称 $v$ 为 $A$ 的特征向量， $\lambda$ 为对应特征值。允许 $\lambda=0$ ；禁止把零向量当作特征向量。

命题 1.14.1　一例对称矩阵的两个特征方向

矩阵 $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ 沿 $(1,1)$ 的倍率为三，沿 $(1,-1)$ 的倍率为一。

证明 · 展开纸笔推导

直接计算 $A(1,1)=(3,3)=3(1,1)$ ，以及 $A(1,-1)=(1,-1)$ 。两个输入都非零，故满足定义。

它们线性无关，任何平面向量都可分解为这两个方向的组合。在线性作用下，分别把两个分量乘以三和一再相加即可得到输出。这是此矩阵可对角化的具体解释，不代表所有矩阵都具有完整特征基。

□

数学表述 1.14.1¶

某些方向经过线性变换后只被缩放而不偏离原直线。这些方向常使反复作用变得容易理解。

特征向量满足 $Av=\lambda v$ 且 $v\ne0$ 。特征值由 $\det(A-\lambda I)=0$ 决定。若有足够多独立特征向量，可写 $A=PDP^{-1}$ ，进而 $A^n=PD^nP^{-1}$ 。

例 1.14.1 把概念用于具体计算

$A=\left[\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}\right]$ 在 $(1,1)$ 上倍率为 $3$ ，在 $(1,-1)$ 上倍率为 $1$ 。

练习 1.14.1¶

上例 $A^4(1,1)$ ？

展开解答与检查

答案 $(81,81)$ ，无需展开矩阵乘法。

Lean 对照 1.14.1 命题、证明与适用边界

证明特征方程在向量缩放后仍成立。若要称缩放结果为特征向量，还须另加原向量及缩放系数非零的条件。

LinearAlgebra.eigenvector_scaling

theorem eigenvector_scaling (T : (ℝ × ℝ) →ₗ[ℝ] (ℝ × ℝ))
    (v : ℝ × ℝ) (μ a : ℝ) (hv : T v = μ • v) :
    T (a • v) = μ • (a • v) := by
  simp [hv, smul_smul, mul_comm]

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原课对照观课问题、视频与图示

先预测哪些方向会保持在原直线上，再检查这些方向能否组成一组基。

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