一步一步建立直观
先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。
01用一个能亲手改变的对象开始
先把两根箭头当作地图上的两次移动，拖动它们的端点，描述合位移如何变化。此处不需要预先知道向量空间的定义；目标是先形成一个明确问题：哪些变化来自移动的次序，哪些来自方向和长度？这会成为后面比较不同表示方法的练习。
02每次只改变一件事，再解释结果
保持两根箭头不动，只改变其中一根的系数。先写下你预计的方向和长度，再查看结果。学习数学时，操作的价值在于让预测暴露出来，而不是替代思考。若结果不符，应追问是计算错误、坐标误解，还是原先使用的规则缺少条件。
03把特殊情形当作检查工具
让两根向量共线，观察原先能覆盖平面的组合怎样退化到一条线。零、对称、相等和极端情形经常能揭示一般公式隐藏的条件。本条目是学习路线说明；右图只是这一学习方法的示例，不把课程公告改写成一条不存在的原课数学定理。
5.1.1 把这组课程当成一条重新学习的路线¶
这条目录位置是课程公告，不是一节包含新定理的数学课。它在教材中的作用，是说明后续基础主题怎样连接：二次方程教我们用中心化简结构，单位圆教我们用运动解释三角，复数把旋转加入乘法，对数再把乘法翻译成加法。
可以先读本组，再进入线性代数与微积分；也可以遇到复指数或对数困惑时回来补基础。学习顺序不应只按公式难度排，而应看后一概念需要借用前一概念的哪些解释。例如复数幂需要先知道指数的周期性与对数分支，否则容易只剩形式计算。
5.1.2 怎样把观看变成能独立复述的理解¶
每次暂停后，用自己的例子解释正在解决的问题。不要先问“这一页有哪些公式”，而要问“为什么需要这个新表示，上一种表示哪里不够方便”。如果无法说出引入符号的原因，通常说明还没有把推导连接起来。
做练习时先保留预测，再看答案。错误预测可以告诉你混淆了哪些对象：把坐标当向量，把有限步近似当极限，或把必要条件当充分条件。修正这类误解比多抄一遍结论更有价值。
本书把连续讲解放在前面，把定义回顾、算例、易错点和 Lean 边界放在后面。先沿着叙述重建思路，再用回顾定位概念，最后核对证明中的假设。公告页本身没有机器定理，这种区分也是认真记录学习范围的一部分。
与本图相连的定义与证明：1.1 · 向量平移不改变合位移。本节的具体条件与形式化范围见下文。
数学表述 5.1.1¶
这是一组由基础概念逐步深入的直播课程。学习时可以把“定义”“例子”“猜想”“证明”分别记下；直播中的探索过程不应被压缩成只有结论的公式表。
推荐先掌握二次方程和单位圆，再学复数、复指数与对数，最后处理幂塔和复数幂。每一步都检查新符号的定义域与旧代数规律是否仍成立。
例 5.1.1 把概念用于具体计算
将 写入笔记前，应代入 。反例提示正确实数恒等式是 。
练习 5.1.1¶
用自己的话区分“例子支持猜想”和“证明结论”。
展开解答与检查
答案要点：有限个例子不能穷尽一般情形，但一个反例足以否定全称命题。
阅读说明
不适用：这是公告和学习方法页，没有需要机器证明的课程命题。仓库的覆盖统计对此显式豁免。