4.10 指数增长与饱和 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01正反馈在资源充足时近似指数

把角速度设为零，只保留径向增长。在固定方向上，状态的大小满足“变化率与当前大小成正比”，于是呈指数增长。这可用来理解传播初期的简化机制：参与传播的人越多，单位时间新增的潜在来源也越多。图中数值没有真实人群的单位。

02区分数学相似与完整模型

第二种情形同时带有旋转；它说明相同的指数幅度可以配上完全不同的其他机制，却不代表流行病会按这条平面螺线演化。人口流动、接触结构与易感者消耗都需要额外状态变量。本窗口仅帮助辨认线性增长因子，不能充当预测工具。

03饱和需要改变方程，而非缩放画面

负的增长率使幅度下降，但这仍是线性指数模型。逻辑斯蒂增长则在方程中加入随存量降低的有效增长率，因而能趋近承载量。把坐标轴缩放得更大不会产生饱和；要解释增长变慢，必须指出模型中哪一项反馈发生了变化。

4.10.1 先识别固定相对增长率的含义¶

指数模型 $N'=rN$ 说的是变化量与当前数量成比例，所以每过同样时间，数量乘上同样倍率。若 $r>0$ ，翻倍所需时间满足 $\mathrm e^{rT}=2$ ，得到 $T=\ln2/r$ ，与当前绝对数量无关。

这解释了早期看似缓慢、之后迅速增加的曲线形状，但形状本身不能证明背后机制。任何固定相对增长率模型，都暗含条件在研究期间保持足够稳定；当资源或可参与群体有限时，这个假设会逐渐失效。

4.10.2 给增长规则加入容量限制¶

一个教学修正是 Logistic 方程 $N'=rN(1-N/K)$ 。数量远小于 $K$ 时，括号接近一，恢复指数近似；数量接近 $K$ 时，相对增长率减小，最终趋向平衡。这里 $K$ 是模型设定的容量，不能不经估计就赋给真实系统。

把增长率看成 $N$ 的函数，它是开口向下的二次式，在 $K/2$ 最大。于是总数量还在增加时，增加速度已经可以开始下降。区分状态与变化率，正是高阶导数章节中的同一个主题。

本节用于理解数学模型，不给实际疫情预测。真实观测还受到报告延迟、检测和行为变化等因素影响。合理的学习顺序是先从假设推导后果，再对照数据检验假设；不能因为一条曲线像指数或 S 形，就认定机制已经确定。

与本图相连的定义与证明：4.1 · 长度平方的增长只由径向项控制。本节的具体条件与形式化范围见下文。

数学表述 4.10.1¶

若增长速度正比于当前数量，就会出现指数增长。资源或易感群体有限时，固定相对增长率通常只适合早期阶段。

指数模型 $N'=rN$ 的倍增时间为 $\ln2/r$ （ $r>0$ ）。一个简化饱和模型是 $N'=rN(1-N/K)$ ，其中 $K>0$ ；在 $0<N<K$ 时仍增长，但相对增长率逐渐降低。

例 4.10.1 把概念用于具体计算

若相对增长率从 $r$ 降为 $r/2$ ，在指数近似下倍增时间翻倍。对 Logistic 模型， $N=K/2$ 时增长率为 $rK/4$ 。

练习 4.10.1¶

Logistic 模型的平衡点有哪些？

展开解答与检查

$N=0$ 和 $N=K$ ；对 $r>0$ ，区间 $(0,K)$ 内导数为正。

Lean 对照 4.10.1 命题、证明与适用边界

验证正增长率、正容量且状态处于 $(0,K)$ 时导数严格为正；未形式化流行病预测或参数估计。

DifferentialEquations.logistic_threshold

theorem logistic_threshold (r K N : ℝ) (hr : 0 < r) (hK : 0 < K)
    (hN : 0 < N) (hNK : N < K) : 0 < r*N*(1-N/K) := by
  apply mul_pos (mul_pos hr hN)
  have : N/K < 1 := (div_lt_one hK).2 hNK
  linarith

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原课对照观课问题、视频与图示

区分数量、增长量和相对增长率，检查指数模型何时需要容量限制。

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