5.7 对数的基础结构 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

对数回答“要使用多少指数参数，才能得到这个正倍率”。乘法在原尺度上组合倍率，在对数尺度上则变成加法。右图选择自然对数，用曲线展示这种坐标压缩：相同的绝对输入增量，作用在较大基数上时代表较小的相对变化。

切换到平方函数，看到输入越大，局部变化率反而越大。这与对数曲线越来越平缓形成对照。函数图像的弯曲不是装饰，它反映输出更关心绝对变化还是相对变化。不过乘法变加法的恒等式仍需由指数与对数定义推导，不能只凭曲线形状断言。

回到对数函数并移动观察点。实对数要求输入为正，因为它在这里是正倍率的指数坐标；接近零时导数变大，非正位置则没有实函数值。复数对数可以扩展讨论，却需要处理辐角分支，不能将它与实对数公式不加说明地混用。

指数把次数送到倍率，对数反过来问某个正数对应多少次增长。 $\log_2 8=3$ 的内容就是 $2^3=8$ 。当次数允许实数，对数成为连续的尺度转换，而不限于整数乘法次数。

若 $a=c^u,b=c^v$ ，乘积是 $c^{u+v}$ ，所以乘积的对数是两对数之和。这个法则直接来自指数的加法规则。商、幂的对数关系也可从同一来源推导，不必各自背一遍。

底数二按翻倍计数，底数十按十倍计数，自然底数按连续增长计数。同一倍率在不同刻度中数值不同，彼此只差一个固定比例，因而出现换底公式。

输入为 $1/9$ 的三底对数是负二，负号表示反向增长或缩小；真数依旧为正。实对数的定义域不能因结果允许负数就扩展到负真数。底数一又无法区分任何次数，因此不能作为对数底。

对数尤其适合把很大的倍率范围压成可读的加性刻度，但必须知道图上的等距离表示等比例，而非等绝对差。后面的自然对数将把这条思想与微小相对变化联系起来。

与本图相连的定义与证明：2.2 · 平方函数的差商与误差。本节的具体条件与形式化范围见下文。

对数把乘法关系改写为加法关系。它是指数函数的反函数，因此必须清楚底数和定义域。

对实数 $a,b>0$ ， $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ ；对底数 $c>0,c\ne1$ ， $\log_c a=\ln a/\ln c$ 。

例 5.7.1 把概念用于具体计算

$\log_2 8=3$ ，因为 $2^3=8$ 。 $\log_2(8\cdot4)=3+2=5$ ，乘法变成指数相加。

$\log_3(1/9)$ ？

展开解答与检查

答案 $-2$ 。负的是对数值，真数仍为正。

Lean 对照 5.7.1 命题、证明与适用边界

完整验证正实数乘积的自然对数公式，并显式要求两个真数为正。

Lockdown.logarithm_product

theorem logarithm_product (a b : ℝ) (ha : 0<a) (hb : 0<b) :
    Real.log (a*b)=Real.log a+Real.log b := Real.log_mul (ne_of_gt ha) (ne_of_gt hb)

原课对照观课问题、视频与图示

把对数读作倍率对应的指数，并检查底数与真数条件。

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