1.2 线性组合、张成与基 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

先固定两根方向箭头，只想象改变它们前面的系数。每一个系数组合产生一个终点，所有可能终点的集合才叫张成空间。右图显示的是其中一个组合；有限次拖动只能提供例子，不能代替对所有实系数的定义。

若两个方向不共线，可以沿它们分别补足所需的两份位移。对于平面上的目标，联立两条坐标方程便得到系数；非零行列式保证答案唯一。基既要能到达全部目标，又要避免用不同配方描述同一目标。

把 $v$ 设成 $2u$ ，同一个终点可以通过增加一份 $u$ 、减少半份 $v$ 保持不变。这个看得见的冗余就是线性相关。此时系数空间仍是二维，但输出只是一条线；区分输入参数数目与实际可达维数十分重要。

给定两种移动指令 $u=(1,1)$ 与 $v=(1,-1)$ ，可以分别执行任意实数倍。先固定第二个旋钮，只改变第一个，终点沿直线移动；再改变第二个旋钮，这条直线整体平移。因为两方向不平行，这些直线扫过整个平面。“所有能到达的位置”就是张成空间。

为什么允许负数和非整数系数？若只准走整数步，得到的是格点；若只准非负步，通常得到一个扇形区域。张成允许任意实系数，正是为了让加法与数乘自由进行。定义中的量词决定了我们讨论哪个集合。

要到达 $(4,2)$ ，横向必须满足 $a+b=4$ ，纵向必须满足 $a-b=2$ 。相加相减得到 $a=3,b=1$ ，也就是目标在新方向下的坐标。若另一对系数到达同一位置，两份表达相减会得到一个非平凡零组合；但两个不平行方向不能这样抵消，所以坐标唯一。

把 $v$ 换成 $2u$ 。两个旋钮看似独立，实际上只改变同一条线上的位置；而 $u=1u+0v=-1u+1v$ 又说明描述出现冗余。基把两方面合在一起：既张成目标空间，又不给同一向量留下多套坐标。

看网格实验时，先预测两根基箭头靠近平行会怎样，再观察结果。网格塌缩将在行列式章节变成面积归零；坐标不再唯一会在零空间章节重新出现。它们不是互不相关的定义，而是同一现象的不同描述。

与本图相连的定义与证明：1.1 · 向量平移不改变合位移。本节的具体条件与形式化范围见下文。

张成空间是“给定方向通过任意拉伸、相加能到达哪里”。基要求既能到达整个空间，又没有多余方向。

$\operatorname{span}(u,v)=\{au+bv:a,b\in\mathbb{R}\}$ 。标准基 $e_1=(1,0),e_2=(0,1)$ 满足 $x e_1+y e_2=(x,y)$ 。若 $u,v$ 不共线，表达式 $au+bv$ 的系数唯一。

例 1.2.1 把概念用于具体计算

对 $u=(1,1),v=(1,-1)$ ，解 $a+b=4,a-b=2$ 得 $(4,2)=3u+v$ 。若把 $v$ 换成 $2u$ ，只能得到直线 $y=x$ 。

$(3,5)$ 在上述 $u,v$ 基下的坐标是什么？

展开解答与检查

答案 $(4,-1)$ ，代回为 $(4,4)+(-1,1)$ 。

Lean 对照 1.2.1 命题、证明与适用边界

验证标准基的张成等式。一般基的线性无关性与坐标唯一性在本节纸笔解释中给出，未在此命题中形式化。

LinearAlgebra.coordinates_span

theorem coordinates_span (x y : ℝ) :
    (x, y) = x • ((1, 0) : ℝ × ℝ) + y • ((0, 1) : ℝ × ℝ) := by
  ext <;> simp

原课对照观课问题、视频与图示

改变线性组合系数时，终点能到达哪里？特别留意两根基向量共线后的变化。

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