5.5 欧拉公式在说什么 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01从乘法结构寻找圆上的指数

实指数把相加的参数变成相乘的倍率；圆周旋转也有同样结构，角度相加等于旋转连续执行。因此用 $e^{i\theta}$ 表示单位圆位置，与指数的组合规律相容。右图让你先把这个结构看成动作，再与正弦余弦坐标对应。

02特殊角度只是一般规律的取样

在半圈处读到负一，在整圈处回到一。这些值帮助检查符号，却不能独自证明所有角度下的欧拉公式。可以通过幂级数、微分方程等方法把一般规律建立起来；本节正文采用的论证应与它依赖的定义相互配套。

03指数的实部负责模长

第三步让指数同时具有实部和虚部，轨迹离开单位圆。实部带来指数缩放，虚部带来旋转。理解了这种分工，就不会把复指数的“周期性”错误地理解成所有复方向都周期；周期出现在纯虚方向的整圈平移中。

5.5.1 指数把相加的参数变成复合的动作¶

实指数满足参数相加、结果相乘。旋转也有同样结构：两个角度相加，对应两个旋转相继执行。因此纯虚指数与单位圆之间可能有联系，但结构相似还不是证明，需要检查它们确实满足同一数学定义或规律。

一条证明路线从幂级数出发：偶数次 $\mathrm i$ 的幂给实部交错项，奇数次给虚部交错项，分别组成余弦与正弦。另一条路线从微分方程出发，比较速度与初值。本书的动态章节展开后一种解释。

5.5.2 欧拉公式让三角关系变成指数运算¶

有了 $\mathrm e^{\mathrm i\theta}=\cos\theta+\mathrm i\sin\theta$ ，两次旋转相乘就能写成一个指数。比较结果的实部和虚部，会重新得到和角公式。指数规则与三角恒等式不再是两套互不相干的记忆任务。

进一步写 $\mathrm e^{x+\mathrm i y}=\mathrm e^x\mathrm e^{\mathrm i y}$ ，实部参数控制缩放，虚部参数控制角度。这里“实部参数”指指数里的 $x$ ，不要误认为结果的实部就是 $\mathrm e^x$ ；结果实部还要乘 $\cos y$ 。

角度绕整圈后回到同一点，因此复指数不单射。下一步取对数时必须面对这个事实，不能简单把指数符号取消。一个好公式既能简化计算，也会暴露哪些旧习惯需要修正。

与本图相连的定义与证明：5.4 · 乘以 i 保持长度并旋转直角。本节的具体条件与形式化范围见下文。

数学表述 5.5.1¶

指数将加法转换为乘法；纯虚数指数把角度相加转换为旋转复合。这统一了三角恒等式与指数规律。

$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$ ，并且 $\mathrm{e}^{z+w}=\mathrm{e}^z\mathrm{e}^w$ 。比较实部与虚部便得到和角公式。

例 5.5.1 把概念用于具体计算

$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/6}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/2}=\mathrm{i}$ ；这比逐项展开两个三角表达式更短。

练习 5.5.1¶

$\mathrm{e}^{x+\mathrm{i} y}$ 的模长是多少？

展开解答与检查

$\mathrm{e}^x$ ，角度在模 $2\pi$ 意义下为 $y$ 。

Lean 对照 5.5.1 命题、证明与适用边界

完整验证复指数的加法到乘法规则。欧拉特值另由微分方程模块中的 euler_identity 验证。

Lockdown.exponential_add

theorem exponential_add (z w : ℂ) :
    Complex.exp (z+w)=Complex.exp z*Complex.exp w := Complex.exp_add z w

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原课对照观课问题、视频与图示

观察指数的加法规则怎样对应旋转复合，同时记住整圈周期性。

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