1.6 行列式：有向体积倍率

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

观察单位方形的四个顶点在同一矩阵下的去向。输出是由两列张成的平行四边形，它与原方形的面积之比不依赖方形放在哪里。行列式正是把这种统一的局部面积倍率压缩成一个数。

剪切把顶部推向一侧，却保留底边和垂直高度，因此面积仍为一。只看两根边的长度会误判，因为夹角同时改变。坐标公式 $ad-bc$ 把两块有向矩形相减，恰好消除了这种倾斜造成的重复计算。

反射后方形面积仍为一，但两根边的顺时针或逆时针次序交换，因此行列式是负一。普通面积必须取绝对值。若继续把两列调成共线，面积为零；这又把几何退化与不能唯一恢复输入联系起来。

已知每点去哪之后，可以问：面积为一的方形，变换后占多大地方？两列向量围成的平行四边形就是它的像。若两列为 $(a,c)$ 与 $(b,d)$ ，计算有向面积会得到 $ad-bc$ 。这个数总结了变换对面积的一项整体作用。

剪切使上边向旁边滑动，但底与垂直高度不变，所以面积不变。水平反射也不改变面积大小，却翻转了两根基箭头的排列朝向。为了保存这个区别，我们让面积倍率带符号；负号表示定向翻转，不是实际土地具有负面积。

让两列逐渐变得平行，平行四边形的高度消失，面积归零。此时不同输入压到同一条线上，许多位置无法区分。行列式为零由此预告了信息丢失，也解释了为什么无法通过逆变换找回所有输入。

在矩阵实验中把第二列设为第一列的两倍。先预测面积，再检查显示值；随后轻微偏转它，观察面积恢复。图形可以帮助理解压扁，但“严格等于零”仍依赖精确数值或符号关系，不能仅凭图形很窄来判断。

复合的倍率应该相乘：第一步把每块面积扩大两倍，第二步再扩大三倍，总倍率就是六。定向也遵守乘法规则，两次反射恢复原朝向。这给出了行列式乘法公式的意义；下面的代数展开检查它在一般二维坐标下成立。面积、可逆性与零空间将在下一节汇合。

与本图相连的定义与证明：1.3 · 基向量的像决定整个映射。本节的具体条件与形式化范围见下文。

行列式记录面积或体积缩放，同时用符号记录定向是否翻转。压成更低维时，体积归零。

对 $A=\left[\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right]$ ， $\det A=ad-bc$ 。复合的倍率相乘： $\det(AB)=\det A\det B$ 。

例 1.6.1 把概念用于具体计算

剪切 $S=\left[\begin{smallmatrix}1&3\\0&1\end{smallmatrix}\right]$ 把单位方形推斜，面积仍为 $1$ 。反射 $F=\operatorname{diag}(-1,1)$ 的行列式为 $-1$ ，面积大小不变但方向反转。

$A=\left[\begin{smallmatrix}2&1\\1&3\end{smallmatrix}\right]$ 的面积倍率？

展开解答与检查

答案 $5$ ； $A^2$ 为 $25$ 。

Lean 对照 1.6.1 命题、证明与适用边界

通过坐标展开严格证明两个一般实 $2\times2$ 矩阵的行列式乘法公式。

LinearAlgebra.determinant_product

theorem determinant_product (a b c d e f g h : ℝ) :
    (a*e+b*g)*(c*f+d*h) - (a*f+b*h)*(c*e+d*g) =
      (a*d-b*c)*(e*h-f*g) := by ring

原课对照观课问题、视频与图示

追踪单位方形的有向面积，区分剪切、反射和压扁这三种情况。

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