1.16 抽象向量空间 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

在子空间 $\{a+bx:a,b\in\mathbb R\}$ 中，一个函数可以用系数对 $(a,b)$ 表示。右图的箭头现在代表系数，不代表物体在平面中移动。函数逐点相加对应系数相加，因此同一个二维图可以帮助理解这个函数空间。

把两份函数先相加再数乘，与分别数乘后相加，会在每一个输入点得到同一数值。这条分配律不依赖函数像不像箭头。向量空间的公理提取的正是这些可复用的运算关系，让几何语言能够进入函数、序列和多项式。

在上述二维子空间中， $1$ 与 $x$ 可作基；若只保留 $1+x$ 的倍数，就像把右图限制在一条线上。坐标图依赖所选有限维子空间，不能由此宣称所有函数都只有两份坐标。抽象定义比这个示意图的适用范围更广。

回顾前面，许多证明只用了相加和数乘，并没有使用长度或角度。若另一类对象也支持相同规则，就可以搬用这些推理。函数相加按每个输入逐点相加，数乘把每个输出同比例缩放；多项式与矩阵也一样。

所有次数不超过二的实多项式，都唯一写成 $c_0+c_1x+c_2x^2$ 。所以 $1,x,x^2$ 扮演三根基，系数是坐标。这里“空间”首先是一种组织对象和操作的结构，不必真的把全部函数画进三维图中。

求导把三根基依次送到 $0,1,2x$ 。把结果在原基下的坐标排成列，得到下面的求导矩阵。计算多项式导数就变成系数向量的矩阵变换。常数在核中，因为求导看不见它们；输出最多一次，所以像空间也受到限制。

这说明抽象并非远离应用：箭头上的基、核、线性映射，直接解释了函数运算。傅里叶级数会换用正弦和余弦作基本方向，热方程会研究各方向随时间的倍率，后续章节由此连接。

迁移结构时仍要核对封闭性。“恰好二次”的多项式相减可能成为一次或零，所以不组成这种向量空间；任意函数也不都可导，不能把求导当成整个函数空间上的算子。抽象的工作，是保留推理需要的条件，并明确哪些对象真正满足它们。

与本图相连的定义与证明：1.1 · 向量平移不改变合位移。本节的具体条件与形式化范围见下文。

“向量”不必是箭头。多项式、函数、矩阵都可以成为向量，只要其加法与数乘满足同一组公理。

函数空间采用逐点运算： $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ ， $(af)(x)=af(x)$ 。微分算子 $D$ 在可微函数组成的适当空间上满足 $D(af+bg)=aDf+bDg$ 。

例 1.16.1 把概念用于具体计算

在基 $1,x,x^2$ 下，次数不超过二的多项式的求导矩阵为 $\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{bmatrix}.$ 它把系数 $(c_0,c_1,c_2)$ 送到 $(c_1,2c_2,0)$ 。

常数函数为什么在求导算子的核中？

展开解答与检查

因为其导数恒为零。

Lean 对照 1.16.1 命题、证明与适用边界

验证整个实函数空间的数乘分配律。这里只形式化向量空间操作，未把任意函数都错误地视为可微。

LinearAlgebra.function_space_distribute

theorem function_space_distribute (a : ℝ) (f g : ℝ → ℝ) :
    a • (f+g) = a • f+a • g := smul_add a f g

原课对照观课问题、视频与图示

把函数当成向量，跟踪求导对每个基函数的作用。

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