2.14 泰勒多项式与余项 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01把多项式做成局部仿制品

首先让近似函数在中心点拥有相同高度，再让斜率相同，然后匹配弯曲及更高阶变化。系数除以阶乘，是因为对幂函数重复求导会产生相应的阶乘。右图比较指数函数与在零点展开的多项式，每加一阶就增加一个局部匹配条件。

02近似好坏同时取决于阶数和距离

固定阶数而把观察点远离中心，误差通常变大。右图的数值读数比肉眼重合更可靠，但仍只是一个点的误差；要承诺整段区间的精度，还须对余项给出统一上界。近似式如果不附中心与误差范围，很容易被使用到不适合的地方。

03区分有限公式与无穷级数

增加阶数，在同一点比较误差是否缩小。指数函数的泰勒级数在每个实数点收敛到原函数，但这并不代表任意无穷可导函数都等于自己的泰勒级数。有限阶公式配合余项先成立；让阶数趋向无穷，还需要余项确实趋零。

2.14.1 用简单函数保留局部信息¶

假设要在零附近估算 $\mathrm e^x$ ，直接计算指数不如多项式方便。先用常数一匹配函数值，再加 $x$ 匹配斜率，再问二次项该是多少。若写 $1+x+cx^2$ ，它在零处的二阶导数为 $2c$ ，而指数的二阶导数为一，所以 $c=1/2$ 。

继续下去，每次求导都会带下一个整数因子， $x^k$ 求 $k$ 次导数后得到 $k!$ 。所以要匹配原函数的第 $k$ 阶导数，系数必须除以 $k!$ 。泰勒公式由此来自逐阶匹配，而不是先出现一个无穷求和式。

2.14.2 多加一项不等于宣布全局正确¶

在动画里比较不同阶多项式与指数：中心附近先贴合，远处仍可能明显偏离。近似是否够用取决于输入范围和容许误差，不能只说“已经用了三阶”。若在区间上能界住下一阶导数，就能用余项估计把误差写成具体上界。

例如 $\mathrm e^{0.1}$ 的二阶近似为 $1.105$ ，而余项大小不超过 $\mathrm e^{0.1}0.1^3/6$ 。这里多出来的三次幂解释了小输入带来的精度；当输入很大时，同样阶数未必有用。

有限阶近似还不等于无穷级数表示。即使函数无穷可微，所有导数信息也可能不足以恢复邻域中的函数；下面的反例提醒我们核对解析性或余项趋零条件。Lean 对照给出一个精确多项式案例，不能替代一般余项定理。

定义 2.14.1　指数函数在零点的泰勒多项式

定义 $P_n(x)=\sum_{k=0}^n x^k/k!$ 。每一项用于匹配指数函数在零点的一个更高阶导数。

命题 2.14.1　在固定区间内控制截断误差

若 $|x|\le R$ ，则 $|e^x-P_n(x)|\le e^R R^{n+1}/(n+1)!$ 。此界对区间中的所有点同时成立。

证明 · 展开纸笔推导

由带拉格朗日余项的泰勒公式，余项为 $e^\xi x^{n+1}/(n+1)!$ ，其中 $\xi$ 位于零和 $x$ 之间。指数函数具有公式所需的各阶导数。

因为 $|\xi|\le R$ ，有 $e^\xi\le e^R$ ；再用 $|x|^{n+1}\le R^{n+1}$ 得到上界。图中单点实际误差通常更小；统一上界的作用是事先保证整个使用区间的精度。

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数学表述 2.14.1¶

用多项式逐次匹配函数在一点的值、斜率、曲率等信息。匹配更多导数改善局部近似，但不自动保证无限级数等于原函数。

$T_n(a+h)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k.$ 在相应区间有足够连续导数时，拉格朗日余项为 $f^{(n+1)}(\xi)h^{n+1}/(n+1)!$ ，其中 $\xi$ 位于两端之间。

例 2.14.1 把概念用于具体计算

对 $f(x)=x^3$ ， $f(a+h)=a^3+3a^2h+3ah^2+h^3$ 是精确等式；在 $a=1,h=0.1$ 得 $1.331$ 。

练习 2.14.1¶

$\mathrm{e}^{0.1}$ 的二阶近似？

展开解答与检查

$1+0.1+0.005=1.105$ ，须用余项界判断精度。

Lean 对照 2.14.1 命题、证明与适用边界

验证三次多项式的精确泰勒恒等式；一般泰勒定理、级数收敛和余项界未纳入这一形式命题。

Calculus.cubic_taylor_exact

theorem cubic_taylor_exact (a h : ℝ) :
    (a+h)^3=a^3+3*a^2*h+3*a*h^2+h^3 := by ring

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原课对照观课问题、视频与图示

逐次匹配值、斜率和更高导数，观察近似在离开中心后怎样变化。

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