2.5 乘积法则与链式法则 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01用放大倍率理解复合

设输入先经过 $g$ ，再经过 $f$ 。一个很小的输入位移先被放大为约 $g'(a)h$ ，随后又被放大为约 $f'(g(a))$ 倍。右图展示其中一台局部放大器：随着取样窗口缩小，曲线附近越来越像直线，而倍率就是切线斜率。

02为什么倍率相乘，却不总是常数

链式法则把两级倍率相乘，但第二级必须在第一级的输出位置测量。移动右图的观察点，切线斜率随位置改变，便能看到“先代入正确位置”不能省略。对每一级都使用同一个输入位置，是复合求导中常见的错误。

03乘积的变化来自两块薄条

乘积可以看作长方形面积。长度和宽度同时改变时，新增面积包含两块一阶薄条，还有一个二阶小角。除以输入步长后，小角项趋零，两块薄条分别留下 $f'g$ 与 $fg'$ 。右图仅演示差商极限；长方形分解才是乘积法则的几何理由。

2.5.1 两个变化共同决定结果¶

面积 $f(x)g(x)$ 随 $x$ 改变时，两条边都可能变化。新增面积包含一条 $g\,\Delta f$ 的带、一条 $f\,\Delta g$ 的带和角上的 $\Delta f\Delta g$ 。除以输入增量后，前两项分别成为 $gf'$ 与 $fg'$ 。

角项为什么能消失？可导性意味着两条边的增量都是输入增量的一阶量，所以相乘是二阶量；再除以一次增量，仍会趋零。若没有这项数量级分析，“把角忽略”只是图像猜测。乘积法则计算的是两条独立贡献的和。

2.5.2 串行变化则把倍率相乘¶

复合函数的结构不同：输入先经过 $f$ ，中间输出再经过 $g$ 。附近小间距先放大约 $f'(x)$ 倍，再放大约 $g'(f(x))$ 倍，所以总倍率相乘。外层导数必须在实际收到的中间值处计算，不能把它误写成 $g'(x)$ 。

比较 $x^2\sin x$ 和 $\sin(x^2)$ 。前者同时改变两块因子，因此两条贡献相加；后者把平方结果送入正弦，因此倍率串联。先画计算关系，再选择法则，比看到两个符号便机械判断更可靠。

有时用差商约去中间增量来记忆链式法则很方便，但中间增量也可能为零，严格证明需要用局部线性近似处理。下一章的反向传播会重用同样结构：沿一条计算路径相乘，多条路径汇合时相加。

与本图相连的定义与证明：2.2 · 平方函数的差商与误差。本节的具体条件与形式化范围见下文。

数学表述 2.5.1¶

面积 $fg$ 的增量来自两条边的改变；复合函数的局部伸缩倍率则相乘。

$(fg)'=f'g+fg',\qquad (g\circ f)'(x)=g'(f(x))f'(x).$ 乘积展开中还有 $\Delta f\Delta g$ ，可导性保证它除以 $h$ 后趋零。链式法则中的外层导数要在内层输出处求值。

例 2.5.1 把概念用于具体计算

$\frac{d}{dx}(x^2\sin x)=2x\sin x+x^2\cos x$ ； $\frac{d}{dx}\sin(x^2)=2x\cos(x^2)$ 。

练习 2.5.1¶

$\mathrm{e}^{3x^2}$ 的导数？

展开解答与检查

答案 $6x\mathrm{e}^{3x^2}$ 。

Lean 对照 2.5.1 命题、证明与适用边界

chain_rule 与同文件的 product_rule 完整保留两函数在相应点可导的假设。

Calculus.chain_rule

theorem chain_rule (f g : ℝ → ℝ) (x df dg : ℝ)
    (hf : HasDerivAt f df x) (hg : HasDerivAt g dg (f x)) :
    HasDerivAt (fun t => g (f t)) (dg*df) x := hg.comp x hf

查看完整定义与上下文 ↗ · 全书证明范围

原课对照观课问题、视频与图示

比较矩形两边同时变化与两级变化串联，辨认为什么一个相加、一个相乘。

官方课程与图示 ↗ · 原视频 ↗

点击后连接 YouTube；播放器不可用时可通过上方原链接观看。