4.1 微分方程与向量场 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01规则先告诉你下一瞬间往哪里走

微分方程给出当前位置对应的速度，而不是直接给出整条路线。右图的小箭头标示当地速度方向；选定一个初始点后，轨线必须处处沿着这些方向前进。先选择纯旋转场，比较沿轨线的切向方向与经过位置上的速度箭头是否一致。

02同一旋转可以叠加径向收缩

加入负的径向增长率，轨线向内盘旋。角度继续变化，半径却按指数缩小，因此“在转动”和“向平衡点靠近”并不冲突。这里使用有显式解的线性系统，便于把局部方程、整体轨迹和实时坐标三者直接核对。

03初值与稳定性是不同问题

把径向增长率改为正，同样的旋转伴随向外增长。拖动初始点可得到同一方程的另一条解；修改增长率则已经改变方程本身。靠近原点的初始状态能否始终保持接近，是稳定性问题，不能仅凭某个初值恰好静止来判断。

4.1.1 先知道变化规则，也能研究运动¶

很多问题先给出的不是位置公式，而是当前位置决定的速度。例如 $x'=kx$ 说“量越大，单位时间的变化越大”。微分方程的未知对象是一条函数轨迹；初值告诉我们从哪里出发，变化规则告诉我们之后往哪里走。

在每个状态处画一根速度箭头，解曲线就必须沿箭头前进。即使没有简单显式解，也可观察平衡点、增长方向或长期趋势。二阶摆方程同时依赖角度和角速度，把它们合成状态 $(\theta,\omega)$ ，就能在相平面中画一阶系统的箭头。

4.1.2 公式解、几何观察与数值近似各做什么¶

猜测 $x=x_0\mathrm e^{kt}$ 后，对它求导并代回，能验证它满足方程与初值。但“找到了一个解”与“证明只有这一个解”仍是两件事，唯一性需要相应定理条件。

欧拉法在当前点沿速度走一个有限小步，再重新估计速度。它把局部直线近似串起来，并不精确遵循曲线；步长过大可能改变定性行为。减小步长并比较结果，是检查数值可信度的基本方式。

读本章时坚持三个层次：规则是什么，哪些轨迹符合规则，从初值能否确定唯一轨迹。方向场提供直觉，代回提供局部验证，分析定理给存在与唯一性保证。后续热方程会把有限维状态变成整条温度分布，但这种提问方式不变。

定义 4.1.1　线性平面速度场

考虑 $x'=\lambda x-\omega y$ 、 $y'=\omega x+\lambda y$ ，其中 $\lambda,\omega$ 为常数。前者控制径向伸缩，后者控制角向转动。

命题 4.1.1　长度平方的增长只由径向项控制

沿任意可微解， $\dfrac d{dt}(x^2+y^2)=2\lambda(x^2+y^2)$ 。特别地， $\lambda=0$ 时长度不变。

证明 · 展开纸笔推导

由乘积法则，导数为 $2xx'+2yy'$ 。代入速度场，两个交叉项 $-2\omega xy$ 与 $2\omega xy$ 抵消，剩下 $2\lambda(x^2+y^2)$ 。

因此转动不会单独改变长度，正负径向项则分别使长度平方增长或衰减。这是本线性系统的精确计算，并非任意速度场都可如此分离。

□

数学表述 4.1.1¶

与其先寻找闭式解，不如在每个状态处画出速度。解曲线必须始终沿着这些箭头前进；相空间把位置和速度合并为状态。

一阶系统写成 $x'=F(t,x)$ 。二阶摆方程 $\theta''=-(g/L)\sin\theta$ 可改写为 $\theta'=\omega,\ \omega'=-(g/L)\sin\theta$ 。

例 4.1.1 把概念用于具体计算

最简单的 $x'=kx$ 有解 $x(t)=x_0\mathrm{e}^{kt}$ 。若 $k<0$ ，它趋近零；若 $k>0$ ，非零初值的绝对值增大。

练习 4.1.1¶

$x'=2x,x(0)=3$ 的解？

展开解答与检查

$3\mathrm{e}^{2t}$ ，代回可直接检查。

Lean 对照 4.1.1 命题、证明与适用边界

完整验证 $\mathrm{e}^{kt}$ 的导数等于 $k\mathrm{e}^{kt}$ ；不是对所有微分方程的存在唯一性证明。

DifferentialEquations.exponential_solution

theorem exponential_solution (k t : ℝ) :
    HasDerivAt (fun s : ℝ => Real.exp (k*s)) (k*Real.exp (k*t)) t := by
  convert (Real.hasDerivAt_exp (k*t)).comp t ((hasDerivAt_id t).const_mul k) using 1
  ring

查看完整定义与上下文 ↗ · 全书证明范围

原课对照观课问题、视频与图示

先从状态画速度箭头，再讨论轨迹；不要把方向场当成唯一性证明。

官方课程与图示 ↗ · 原视频 ↗

点击后连接 YouTube；播放器不可用时可通过上方原链接观看。