2.15 泰勒展开的面积解释 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

若导数只用常数近似，函数只得到一条切线；若把导数的线性变化也纳入，积累起来就得到二次修正。积分让一个关于斜率的局部误差变成面积，所以泰勒系数可以通过反复累计来理解，而不必只是代数配系数。

在从零到 $x$ 的区间上，常数积成 $x$ ，线性项积成 $x^2/2$ ，再次累计又引入新的分母。右图的指数函数各阶导数重复自身，这让 $1/n!$ 的结构特别明显。每一层累计都把先前的变化分摊到整段区间上。

把观察点移远，查看新增高阶项仍未覆盖的差距。积分形式的余项把它写成高阶导数与权重的积分，因而可以用导数上界控制。图形里的两条线看似重合，只表示当前显示尺度下误差小；余项估计才说明这种小有多可靠。

设 $F'=f$ ，想估计 $F(a+h)-F(a)$ 。第一步把高度固定为 $f(a)$ ，得到矩形面积 $f(a)h$ 。但若高度随着输入增加，它的变化也会贡献面积。把高度函数用直线近似，末端比起点高约 $f'(a)h$ ，新增区域近似三角形。

三角形底为 $h$ 、高为 $f'(a)h$ ，所以修正是 $\frac12 f'(a)h^2$ 。二阶项的二分之一因此可以看成变化高度的平均效果。若斜率为负，修正也带负号；有向面积让同一公式继续成立。

高度函数的一阶变化形成累积函数的二阶修正。若继续近似高度本身的弯曲，再积分，就会产生三阶项。积分每次提高幂次并除以新的次数，这与泰勒系数里的阶乘相呼应。

对 $F(x)=x^2$ ，导数 $f(x)=2x$ 本来就是直线，所以矩形加三角形已经精确，没有更高误差。对一般函数，三角形只模拟局部高度变化，还需要估计曲线与这条直线之间的面积差。

把本节与上一节对照：一种办法逐阶匹配导数，另一种从累积几何解释修正。两种路线得到同一局部表达，但适用的光滑条件仍要保留。看图时不要把“画起来像三角形”直接升级为精确等式，要先判断高度函数是否真的线性。

与本图相连的定义与证明：2.14 · 在固定区间内控制截断误差。本节的具体条件与形式化范围见下文。

一阶近似对应窄条的矩形面积；若高度也在变化，再加入三角形面积，就出现二阶修正中的 $1/2$ 。

由 $F'=f$ ，在足够光滑时 $F(a+h)-F(a)=f(a)h+\frac12f'(a)h^2+o(h^2).$ 它正是 $F$ 的二阶泰勒式。

例 2.15.1 把概念用于具体计算

取 $F(x)=x^2$ ， $f(x)=2x$ 。矩形贡献为 $2ah$ ，三角形贡献为 $h^2$ ，且此时余项恰为零。

$F(x)=x^2/2$ 的一次近似误差？

展开解答与检查

精确为 $h^2/2$ ，不随展开点 $a$ 改变。

Lean 对照 2.15.1 命题、证明与适用边界

精确验证平方函数减去一次近似后等于 $h^2$ ；这给出二阶修正的可核查例子。

Calculus.quadratic_error

theorem quadratic_error (a h : ℝ) : (a+h)^2-a^2-2*a*h=h^2 := by ring

原课对照观课问题、视频与图示

把二阶修正看成一块有向三角形，说明什么时候是精确面积。

本条目在官方目录中未单列视频，参照上述官方图文阅读。