5.3 三角函数从单位圆出发

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01先读圆上的坐标，再给它们命名

把单位圆上一点投影到横轴和纵轴，两个读数就是余弦与正弦。角度决定的是位置，不是单独某条三角形边的长度。这个表示在越过直角后仍然有效，坐标符号自然改变，所以三角函数不必被限制在锐角直角三角形中。

02用对称性检查符号和周期

转到半圈，横坐标变为负一，纵坐标回到零。继续移动点，可以通过圆的对称性推断其他象限的符号与数值关系。因为横纵坐标来自同一根单位向量，它们的平方和始终为一；这条恒等式有直接的长度解释。

03区分单位圆与一般极坐标

加入径向增长后，点不再位于单位圆。方向仍用角度描述，坐标却要乘以当前半径，平方和也变成半径的平方。这个对照帮助避免把 $x=\cos\theta$ 、 $y=\sin\theta$ 无条件套到任意平面点上；一般情况还必须记录模长。

5.3.1 从直角三角形走到整圈运动¶

锐角三角比只覆盖部分角度，单位圆则能连续描述整圈。点在圆上转到角度 $\theta$ 时，横坐标定义为余弦，纵坐标定义为正弦。负角、超过一圈的角和各象限符号，都由点的位置统一解释。

半径为一，所以两坐标平方和为一。这不是一条需要孤立记住的恒等式，而是点始终在单位圆上的坐标表达。关于纵轴或横轴反射，也会直接给出一批符号关系。

5.3.2 和角公式来自两次旋转¶

先旋转 $\beta$ ，再旋转 $\alpha$ ，总角度是 $\alpha+\beta$ 。把每次旋转写成矩阵，乘积的第一列记录标准横向箭头最终落点；与总旋转矩阵比较，就得到正弦余弦的和角公式。

这条路线解释了为什么正弦和角不是简单相加：第二次旋转会同时混合前一步的横纵分量。公式中的乘积项记录这种投影与混合，而非人为增加的复杂性。

在复平面实验里，先暂停在某个角度，预测再转四分之一圈后的横纵坐标，再改变滑块验证。学习三角时应能在角度、点坐标、旋转动作三种语言之间转换。后面复数乘法会把同一个旋转矩阵压缩成一个复数。

与本图相连的定义与证明：5.4 · 乘以 i 保持长度并旋转直角。本节的具体条件与形式化范围见下文。

数学表述 5.3.1¶

单位圆将角度和坐标联系起来： $\cos\theta$ 是横坐标， $\sin\theta$ 是纵坐标。三角恒等式可由旋转、投影和勾股关系产生。

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ ，且旋转矩阵为 $R_\theta=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}.$ $R_\alpha R_\beta=R_{\alpha+\beta}$ 可导出和角公式。

例 5.3.1 把概念用于具体计算

对 $\theta=\pi/3$ ，坐标为 $(1/2,\sqrt3/2)$ ，平方和为 $1/4+3/4=1$ 。

练习 5.3.1¶

$\cos(\pi-\theta)$ 和 $\sin(\pi-\theta)$ ？

展开解答与检查

分别为 $-\cos\theta$ 、 $\sin\theta$ 。

Lean 对照 5.3.1 命题、证明与适用边界

完整验证实数任意角度的单位圆恒等式。

Lockdown.unit_circle

theorem unit_circle (θ : ℝ) : Real.sin θ^2+Real.cos θ^2=1 :=
  Real.sin_sq_add_cos_sq θ

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原课对照观课问题、视频与图示

从单位圆读出符号和投影，把和角公式理解成两次旋转。

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