1.13 换基：改变坐标语言 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01换尺子不等于移动对象

绿色向量代表空间对象，坐标是用选定基向量给它写出的配方。换基只改变配方的记录方式，不应凭空移动箭头。右图选取实对称矩阵，虚线提供一组特别方便的基方向，作为一般换基的一个具体例子。

02为什么某些坐标更容易计算

当绿色箭头沿第一条特征方向时，矩阵作用只把它放大，不产生另一方向的分量。改用两条特征方向为基，每个坐标就各自乘上一个倍率。原本混合两个分量的计算，因此变成独立的缩放。

03按翻译顺序推导矩阵表达

若 $P$ 的列是新基在旧坐标中的表达，新坐标先乘 $P$ 才能交给旧矩阵 $A$ ，输出再乘 $P^{-1}$ 译回。因此新矩阵是 $P^{-1}AP$ 。顺序来自坐标转换的职责；不是因为三块矩阵可以随意交换。

1.13.1 物体没有换，描述它的语言换了¶

两个人看同一箭头，一个用水平与竖直方向报坐标，一个用两根斜基报坐标。数字不同不代表向量不同。先约定 $P$ 接收新坐标、输出旧坐标。因为新坐标 $(1,0)$ 就是第一根新基， $P$ 的第一列必须是这根基在旧坐标下的描述。

已知动作 $A$ 使用旧坐标，却收到新坐标输入，就要先翻译、再执行、再翻译回来。实际顺序是 $P,A,P^{-1}$ ，写成乘积是 $P^{-1}AP$ 。只要记清三句指令，逆矩阵的位置不必靠猜。

1.13.2 好语言让同一动作变简单¶

交换横纵坐标的动作，把 $(1,1)$ 留在原处，把 $(1,-1)$ 反向。选它们为新基，动作就从“交换两个坐标”变为“保留第一分量、取反第二分量”，因此出现对角表示。

例如 $(3,1)$ 的新坐标由 $a+b=3,a-b=1$ 得到 $(2,1)$ 。新矩阵把它变成 $(2,-1)$ ，再翻译回去得到 $(1,3)$ ，与原动作相符。走完这三步，往往比直接展开相似变换更容易发现方向约定错误。

换基改变描述，主动变换改变对象；两种解释共享矩阵形式，很容易混淆。阅读推导时要明确当前向量是物体、旧坐标还是新坐标。下一节寻找特征向量，就是寻找一套好语言，让重复作用变成独立方向上的简单伸缩。

与本图相连的定义与证明：1.14 · 一例对称矩阵的两个特征方向。本节的具体条件与形式化范围见下文。

数学表述 1.13.1¶

换基改变的是向量的描述。同一个物理动作在不同坐标系统中有不同矩阵。

若 $P$ 的列为新基在旧基下的坐标，则 $[v]_{\mathrm{old}}=P[v]_{\mathrm{new}}$ ，且 $[T]_{\mathrm{new}}=P^{-1}[T]_{\mathrm{old}}P$ 。

例 1.13.1 把概念用于具体计算

对交换坐标的映射 $A=\left[\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\right]$ ，选新基 $(1,1),(1,-1)$ ，得到对角表示 $\operatorname{diag}(1,-1)$ 。

练习 1.13.1¶

上例的 $(3,1)$ 新坐标是什么？

展开解答与检查

解 $a+b=3,a-b=1$ ，得 $(2,1)$ 。

Lean 对照 1.13.1 命题、证明与适用边界

用可逆线性等价验证“换回旧坐标后得到原动作”的恒等式，明确要求坐标变换可逆。

LinearAlgebra.change_of_basis

theorem change_of_basis (e : (ℝ × ℝ) ≃ₗ[ℝ] (ℝ × ℝ))
    (T : (ℝ × ℝ) →ₗ[ℝ] (ℝ × ℝ)) (v : ℝ × ℝ) :
    e (e.symm (T (e v))) = T (e v) := e.apply_symm_apply _

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原课对照观课问题、视频与图示

区分向量在空间中的位置与其坐标，按翻译、作用、翻译回来的顺序阅读公式。

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