1.9 点积与对偶 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01把点积当作沿某个方向的读数

把 $u$ 看成测量方向， $v$ 看成一次位移。投影回答位移沿尺子方向前进了多少；垂直于尺子的那部分不会贡献读数。若尺子没有归一化，点积还额外乘上尺子的长度，因此不能直接把它当作投影长度。

02垂直分量为什么消失

让待测向量与测量方向垂直，点积变为零。一般情形可以把 $v$ 拆成平行部分与垂直部分；平行部分的系数必须是 $(u\cdot v)/(u\cdot u)$ ，因为减掉它以后与 $u$ 的点积恰为零。这里要求 $u$ 非零。

03负号表示相反的测量方向

把待测向量移到尺子的反方向，点积为负。这个符号表达朝向，并非说长度可以为负。在力学中，恒力与位移的点积描述功；垂直运动不做功、反向运动做负功，提供了同一个投影关系的物理解释。

1.9.1 把一个向量变成一把测量尺¶

若要回答“一个位移在某方向上走了多少”，输出应该是一个数。固定方向 $u$ ，把 $v$ 沿它投影就是这种测量。反方向应给负数，垂直方向应给零，相接的两段位移应使测量结果相加。我们因此期待一个线性测量。

在标准正交坐标中，测量由它对基向量的读数决定。若对 $e_1,e_2$ 的读数分别为 $a,b$ ，对 $(x,y)$ 的读数只能是 $ax+by$ 。把读数收进向量 $(a,b)$ ，便得到点积公式。一端是被测对象，另一端是测量仪器，这是对偶空间的具体入口。

1.9.2 区分投影系数、长度与向量¶

取 $u=(1,2),v=(3,1)$ ，点积为 $5$ ，但投影长度不是 $5$ ，因为尺子不是单位长度。要找投影向量 $cu$ ，应要求残差 $v-cu$ 垂直于 $u$ 。令 $u\cdot(v-cu)=0$ ，得到 $c=(u\cdot v)/(u\cdot u)$ ，本例恰为 $1$ 。

残差 $(2,-1)$ 与尺子点积为零，说明分解正确。这个推导也解释了分母和 $u\ne0$ 的要求。向量的几何长度、投影向量、沿基方向的系数是三个对象，不能因为都出现一个数字就混为一谈。

若改用不垂直的基，逐坐标相乘相加一般不再表示同一几何内积，还需记录基之间的交叉贡献。后面的注意力虽然处理高维数据，仍沿用“用固定方向读出一个分数”的思想；但语义是否与某个方向对应，需要另作经验判断。

定义 1.9.1　沿一条非零方向的正交投影

对非零向量 $u$ ，定义 $\operatorname{proj}_u(v)=\dfrac{u\cdot v}{u\cdot u}u$ 。投影是向量，点积是标量，两者不能互相替代。

命题 1.9.1　投影后的剩余量与投影方向垂直

设 $u\ne0$ ，令 $r=v-\operatorname{proj}_u(v)$ 。则 $u\cdot r=0$ 。

证明 · 展开纸笔推导

由点积的线性性， $u\cdot r=u\cdot v-\dfrac{u\cdot v}{u\cdot u}(u\cdot u)=0$ 。分母可约去，是因为实内积下非零向量满足 $u\cdot u>0$ 。

因此 $v$ 被分成沿 $u$ 的部分与垂直于 $u$ 的部分。若 $u=0$ ，公式没有定义；图形窗口会报告这一退化情形，而不生成一个任意的投影方向。

□

数学表述 1.9.1¶

固定一个向量 $u$ ，点积 $v\mapsto u\cdot v$ 就是一个线性测量。几何上它把 $v$ 沿 $u$ 的投影长度乘以 $\|u\|$ 。

$u\cdot v=\sum_i u_iv_i=\|u\|\|v\|\cos\theta$ 。对 $u\ne0$ ，投影为 $\operatorname{proj}_u v=\frac{u\cdot v}{u\cdot u}u$ 。

例 1.9.1 把概念用于具体计算

$u=(1,2),v=(3,1)$ 的点积为 $5$ ，所以投影恰为 $(1,2)$ ，残差 $(2,-1)$ 与 $u$ 正交。

练习 1.9.1¶

写出线性测量 $L(x,y)=4x-y$ 对应的向量。

展开解答与检查

标准内积下答案 $(4,-1)$ 。

Lean 对照 1.9.1 命题、证明与适用边界

验证二维点积对第二个输入可加，即固定向量所定义测量的线性结构之一。

LinearAlgebra.dot_linear

theorem dot_linear (a b x y u v : ℝ) :
    a*(x+u)+b*(y+v) = (a*x+b*y)+(a*u+b*v) := by ring

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原课对照观课问题、视频与图示

把点积看成投影测量，留意尺子的长度如何影响读数。

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