1.8 非方阵与维度变化 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01输入和输出可以属于不同空间

先观察三维箭头，再启用平面投影。输出只保留横纵两项，所以需要两行记录输出，却仍需三列说明三个输入方向的贡献。一个 $2$ 行 $3$ 列矩阵不是残缺的方阵，而是从三维到二维的完整规则。

02寻找消失的自由方向

保持横纵分量不动，只改变高度。平面输出不会移动，因此竖直轴属于核。这个观察说明为什么三维输入无法由二维投影唯一恢复；丢失的是一整份自由信息，而不是计算时偶然漏掉一个数。

03把观察与维数结论分开

每一个平面向量都可由高度为零的三维向量投过去，所以此投影是满射；它同时不是单射。维数论可以推广这种现象，但应先说明映射、定义域和值域。屏幕上的透视缩短只是相机效果，不等同于这个数学投影。

1.8.1 输入与输出不必住在同一空间¶

删掉高度的线性投影 $P(x,y,z)=(x,y)$ 接受三个输入分量，却只给两个输出分量，所以矩阵有两行三列。把它想象成从三维场景保留一个平面视图，比先背矩阵尺寸规则更自然。

$m\times n$ 矩阵的每一列记录一个输入基方向在 $m$ 维输出空间中的去向，一共需要记录 $n$ 根输入基。因此行数是输出维度，列数是输入维度；检查乘法能否进行，也就是检查前一步输出是否能交给后一步。

1.8.2 “撤销”需要说明是哪一边¶

每个平面点 $(a,b)$ 都有原像 $(a,b,0)$ ，所以 $P$ 满射。但 $(a,b,5)$ 也投到同一点，所以它不单射。反向嵌入 $J(a,b)=(a,b,0)$ 只是约定一个高度，并没有找回输入原来的高度。

先嵌入再投影，平面点原样返回，得到 $PJ=I_2$ 。先投影再嵌入，三维点变成 $(x,y,0)$ ，所以 $JP\ne I_3$ 。一对矩阵能在一边互相撤销，却不能在另一边撤销，这就是左右逆要分别讨论的原因。

画几条平行于高度轴的线，把每条线看成一组无法区分的输入。这些线是核的平移。以后遇到数据降维、神经网络宽窄不同的层或欠定方程，先数维度，再问保留了什么、丢失了什么。维度分析不能独自解出问题，却经常能在计算前排除不可能的答案。

与本图相连的定义与证明：1.10 · 叉积与两个输入都垂直。本节的具体条件与形式化范围见下文。

数学表述 1.8.1¶

$m\times n$ 矩阵把 $n$ 维输入映到 $m$ 维输出。行数与列数分别对应输出和输入维度。

$P=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix},\quad P(x,y,z)=(x,y),\quad \ker P=\{(0,0,z):z\in\mathbb{R}\}.$ 它满射但不单射。相反， $J(x,y)=(x,y,0)$ 单射但不是到整个 $\mathbb{R}^3$ 的满射，且 $PJ=I_2$ 。

例 1.8.1 把概念用于具体计算

$(2,5,7)$ 和 $(2,5,-1)$ 都被投到 $(2,5)$ 。丢失的 $z$ 信息无法从输出恢复。

练习 1.8.1¶

$JP$ 是什么？

展开解答与检查

它把 $(x,y,z)$ 变为 $(x,y,0)$ ，不是 $I_3$ 。

Lean 对照 1.8.1 命题、证明与适用边界

完整证明这一坐标投影满射，构造每个输出 $(x,y)$ 的原像 $(x,y,0)$ 。

LinearAlgebra.projection_surjective

theorem projection_surjective :
    Function.Surjective (fun v : ℝ × ℝ × ℝ => (v.1, v.2.1)) := by
  rintro ⟨x,y⟩
  exact ⟨(x,y,0), rfl⟩

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原课对照观课问题、视频与图示

先数清输入与输出维度，再观察投影丢掉了哪一个方向。

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