1.12 克拉默法则 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01把未知坐标看成两份面积贡献

设输出 $b=xu+yv$ ，其中 $u,v$ 是矩阵两列。右图显示输出由这两根方向按系数组合得到。若只想求 $x$ ，就寻找一种测量，能让沿 $v$ 的那份贡献自动消失，而保留沿 $u$ 的贡献。这样的测量应该比较有向面积，而不是仅比较箭头长短。

02用替换列隔离一个系数

取 $b$ 与 $v$ 的有向面积，沿 $v$ 的贡献因为共线而为零，于是面积为 $x$ 倍原底面面积。因此 $x=\det(b,v)/\det(u,v)$ ；换另一个底边同理得到 $y$ 。这个推导说明公式为何替换整列，而非单独替换某个元素。

03分母条件对应可见的几何障碍

把两列调成共线后，分母为零。此时面积测量已经不能区分不同配方，继续做面积比没有意义。非零行列式不仅是为了避免除零，也是保证这套测量能够恢复两份坐标信息的实质条件。

1.12.1 把未知系数藏进面积比¶

目标写作 $b=xu+yv$ ，其中 $u,v$ 是矩阵的列。除了逐坐标解方程，还能寻找一个操作，只留下 $x$ 而消去 $y$ 。以 $b,v$ 为边计算有向面积： $yv$ 与 $v$ 平行，不贡献面积；剩余的 $xu$ 使原面积乘以 $x$ 。

用行列式语言写出刚才的几何论证： $\det[b\ v]=\det[xu+yv\ v]=x\det[u\ v].$ 原面积不为零时，除过去便得到 $x$ ；类似地，以 $u,b$ 为列得到 $y$ 。“换列后求行列式”其实是一种消去另一个未知数的测量。

1.12.2 计算之后仍要返回原问题¶

取 $u=(2,1),v=(1,3),b=(5,5)$ 。原面积为 $5$ ，替换第一列后为 $10$ ，故第一系数为 $2$ ；替换第二列后为 $5$ ，另一系数为 $1$ 。最后代回 $2u+v=(5,5)$ ，检查列序与符号。

若原面积为零，除法失效反映问题已经改变：两列只张成一条线，目标可能不可达，也可能有多套表示。应回到列空间与核，而不能把零分母约掉。几何解释恰好说明了公式条件为什么必要。

这套公式适合建立唯一解与有向面积的联系，并不意味着大规模数值求解都应采用它；效率与误差稳定性需要另外研究。练习时先画列向量，再把未知数解释为面积比，最后做坐标代回。这会把几何、代数和条件检查放在同一条推理链上。

与本图相连的定义与证明：1.3 · 基向量的像决定整个映射。本节的具体条件与形式化范围见下文。

数学表述 1.12.1¶

若矩阵可逆，把一列替换为目标向量，新的有向体积与原体积之比就是相应的坐标系数。

对 $ax+by=p,cx+dy=q$ ，在 $\Delta=ad-bc\ne0$ 时， $x=\frac{pd-bq}{\Delta},\qquad y=\frac{aq-pc}{\Delta}.$

例 1.12.1 把概念用于具体计算

$2x+y=5,x+3y=5$ 给出 $\Delta=5$ ，故 $x=2,y=1$ 。几何上新列体积分别为 $10$ 和 $5$ 。

练习 1.12.1¶

解 $x+2y=4,3x+y=7$ 。

展开解答与检查

$\Delta=-5$ ，答案 $x=2,y=1$ 。

Lean 对照 1.12.1 命题、证明与适用边界

给定两条线性方程和非零行列式，完整推导这两个商公式。

LinearAlgebra.cramers_rule

theorem cramers_rule (a b c d x y p q : ℝ)
    (h₁ : a*x+b*y=p) (h₂ : c*x+d*y=q) (hdet : a*d-b*c ≠ 0) :
    x=(p*d-b*q)/(a*d-b*c) ∧ y=(a*q-p*c)/(a*d-b*c) := by
  constructor
  · apply (eq_div_iff hdet).2
    nlinarith [congrArg (fun t : ℝ => d*t) h₁,
      congrArg (fun t : ℝ => b*t) h₂]
  · apply (eq_div_iff hdet).2
    nlinarith [congrArg (fun t : ℝ => a*t) h₂,
      congrArg (fun t : ℝ => c*t) h₁]

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原课对照观课问题、视频与图示

留意替换一列怎样消去另一份系数，并用面积比解释求解公式。

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