2.11 积分与微积分基本定理

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01从速率记录重建总量

如果只能读取瞬时流速，怎样恢复一段时间内的流入量？先用每个小区间起点的流速乘以持续时间，再把各段相加。右图的矩形把这个过程画出来。积分把“以离散记录估计累计”的方法推广为可控的极限。

02让分割变细，但不要混淆两种变量

增加矩形数时，终点不变，改变的是估计精度；移动终点时，问题本身的累计范围改变。前者通向定积分的定义，后者产生面积函数。把这两种操作分开，就能理解为什么积分既是一个数，也可以随上限变化成为函数。

03由新增薄带得到基本定理

将终点略向右移，新增面积约为端点函数值乘以移动距离。连续性保证这条窄带内部的高度不会突然偏离端点高度，于是面积函数的导数恢复原函数。再用任意原函数之差计算定积分，正是把这个局部事实连接到整个区间。

2.11.1 把变化率逐段累积起来¶

若知道一辆车每个时刻的速度，想求一段时间的净位移，可以把时间切成小段，每段用速度乘时长估计位移，再把贡献相加。速度变化时，有限切分存在误差；积分是切分变细后稳定的有向累积。

为什么叫有向？向前速度贡献正位移，倒退速度贡献负位移。净位移可能为零，但总路程并非零。同理，曲线在横轴下的部分在定积分中带负号，几何面积则需要另外处理绝对值。

2.11.2 原函数为什么能省掉求和¶

若速度本来就是某个位置函数 $F$ 的导数，每小段的真实位移是两个端点的位置差。把相邻小段相加，中间端点一正一负地抵消，只剩 $F(b)-F(a)$ 。基本定理将这种望远镜式相消，与用导数近似小段变化的极限论证连接起来。

因此找到原函数是一种高效计算累积的方法，而不是积分唯一的定义。无法写出简单原函数时，定积分仍可能存在，也可通过数值求和逼近。反过来，形式上写出一个导数表达式，也应检查区间条件，不能跨过奇点随意用端点差。

在矩形实验中逐步加密切分，先看左端点和是否偏低，再解释原因。本例函数递增，每个矩形高度取在小段最左端，因而低于曲线。这样你不仅看到数值趋近，还知道误差的方向；这是数值计算与数学解释配合的方式。

定义 2.11.1　可变上限的面积函数

设 $f$ 在区间上连续，固定左端点 $a$ ，定义 $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ 。这是随终点变化的有向累积量。

命题 2.11.1　连续速率的累积恢复原速率

在区间内部，面积函数满足 $F'(x)=f(x)$ 。

证明 · 展开纸笔推导

把增量写成 $F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h}f(t)\,dt$ 。减去 $f(x)h$ 后，剩余量为 $\int_x^{x+h}(f(t)-f(x))\,dt$ 。

连续性保证足够短的区间内 $|f(t)-f(x)|$ 任意小。因此剩余量的绝对值至多为该小量乘 $|h|$ 。除以 $|h|$ 后取极限，差商与 $f(x)$ 的差趋零；正负步长都适用。

□

数学表述 2.11.1¶

积分把每个位置的微小贡献累积起来。如果已知一个变化率的原函数，就能用端点差得到总变化。

若 $F$ 在包含区间的范围内可导且 $F'$ 在区间可积，则 $\int_a^b F'(x)\,\mathrm{d} x=F(b)-F(a).$ 连续被积函数的原函数可由累积积分构造，这是基本定理的另一方向。

例 2.11.1 把概念用于具体计算

$\int_1^3 2x\,\mathrm{d} x=3^2-1^2=8$ 。把积分上下限交换，结果变成 $-8$ 。

练习 2.11.1¶

$\int_{-1}^1 x\,\mathrm{d} x$ ？

展开解答与检查

答案 $0$ ；两侧几何面积之和却是 $1$ 。

Lean 对照 2.11.1 命题、证明与适用边界

调用完整的基本定理第二部分，保留区间上处处可导及导函数区间可积的精确假设。

Calculus.fundamental_theorem

theorem fundamental_theorem (f : ℝ → ℝ) (a b : ℝ)
    (hd : ∀ x ∈ Set.uIcc a b, DifferentiableAt ℝ f x)
    (hi : IntervalIntegrable (deriv f) MeasureTheory.volume a b) :
    (∫ x in a..b, deriv f x) = f b-f a :=
  intervalIntegral.integral_deriv_eq_sub hd hi

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原课对照观课问题、视频与图示

观察小矩形累积以及误差方向，再把积分解释成端点变化。

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