1.4 矩阵乘法就是复合 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01每一幅图都是一次计算的状态

左图给出原始向量，中图是第一次动作的输出，右图才是最终结果。先让旋转角为零，只保留剪切，确认三幅图的含义。矩阵乘法不是把两个数表逐项相乘，而是把前一步产生的向量交给后一步处理。

02把中间状态代入第二条规则

令 $B$ 是旋转， $A$ 是剪切。先算 $Bx$ ，再将这个新向量当成 $A$ 的输入，得到 $A(Bx)$ 。对每一根标准基箭头重复这个过程，就得到了乘积矩阵的各列。因此列的几何解释直接导出行列求和的计算公式。

03交换顺序是一项可检验的主张

切换为先剪切再旋转，中图首先发生改变，最后的红色向量通常也不同。原因是第二次操作面对的方向已由第一次改变。结合律只改变分组，动作队列不变；交换律却重排了队列，两者不能混为一谈。

1.4.1 从执行顺序推导乘法顺序¶

先把图形横向拉长两倍，再剪切，怎样用一个矩阵保存整个过程？必须知道每根标准基箭头经过两步后落在哪里。第一步的矩阵 $B$ 已把位置存进自己的列；第二步对每一列作用 $A$ 。因此复合矩阵的列是 $A$ 乘以 $B$ 的各列，这就是矩阵乘法的来源。

$ABv$ 的括号是 $A(Bv)$ ：书写从左到右，执行从最靠近输入的右端开始，与 $f(g(x))$ 一样。把乘法读成动作，还能判断不同形状的矩阵能否相乘：前一步的输出维度必须接上后一步的输入维度。

1.4.2 交换顺序为什么改变结果¶

拿 $(0,1)$ 做实验。先横向拉长时，它在纵轴上，不动；再剪切，横坐标变成 $1$ 。若先剪切，它先到 $(1,1)$ ，随后拉长会把刚产生的横坐标放大，结果是 $(2,1)$ 。第二步处理的是已经改变的对象，所以同样两步不必得到同一结果。

再看公式里的求和：第 $i$ 个输出分量，要累加中间层各分量对它的贡献。下标 $k$ 标记所有中间通道。神经网络层间计算与换基都会重用这个视角。

三个动作按 $C,B,A$ 执行，先把哪两步打包，不改变实际过程，所以 $(AB)C=A(BC)$ 。结合律允许重新打包，却没有允许交换动作。以后读长矩阵公式时，给每个矩阵配一句实际指令，再决定能怎样移动括号。

定义 1.4.1　映射的复合次序

若 $B$ 把输入送到中间空间， $A$ 再作用于中间结果，则复合映射写成 $A\circ B$ ，矩阵写成 $AB$ 。最右侧的矩阵先作用。

命题 1.4.1　矩阵乘法的列规则

复合矩阵 $AB$ 的第 $j$ 列是 $A$ 作用在 $B$ 的第 $j$ 列所得的向量。各矩阵的输入输出维度须匹配。

证明 · 展开纸笔推导

把标准基向量 $e_j$ 送入复合映射。第一步得到 $Be_j$ ，它就是 $B$ 的第 $j$ 列；第二步得到 $A(Be_j)$ 。

一个矩阵的第 $j$ 列也等于它作用在 $e_j$ 上的结果，所以复合矩阵的各列只能按此规则组成。交换 $A$ 、 $B$ 会改变动作顺序，通常也改变结果。

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数学表述 1.4.1¶

矩阵乘法的列，是后一动作的基向量像经过前一动作后的结果。因此乘法次序有实际意义。

$(AB)v=A(Bv)$ ，且 $(AB)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj}$ 。令 $A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix};\quad AB=\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix},\quad BA=\begin{bmatrix}2&2\\0&1\end{bmatrix}.$

例 1.4.1 把概念用于具体计算

对 $v=(0,1)$ ，先 $B$ 后 $A$ 得 $(1,1)$ ，反过来得到 $(2,1)$ 。这是不交换性的直接见证。

练习 1.4.1¶

为什么 $(AB)C=A(BC)$ ？

展开解答与检查

两边都对向量执行 $C$ 、 $B$ 、 $A$ ，或展开有限求和验证。

Lean 对照 1.4.1 命题、证明与适用边界

复用 mathlib 的矩阵作用复合定理，在任意实 $2\times2$ 矩阵和向量上验证等式。

LinearAlgebra.matrix_composition

theorem matrix_composition (A B : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ) (v : Fin 2 → ℝ) :
    Matrix.mulVec A (Matrix.mulVec B v) = Matrix.mulVec (A * B) v :=
  Matrix.mulVec_mulVec v A B

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原课对照观课问题、视频与图示

分别跟踪先剪切后缩放与先缩放后剪切，找出两种结果最早出现差异的步骤。

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