第 1 章线性代数 · 从直觉到证明

线性代数从一个压缩信息的问题开始：怎样用少量数据描述整个空间中的变化？若一个动作保持向量的相加和缩放，只需知道基向量的去向，就能恢复每个向量的去向。矩阵于是成为动作的记录，而不只是一个等待计算的数表。

本章先建立向量、张成与基，再把矩阵乘法解释为动作复合。行列式回答体积怎样变化，核与列空间回答哪些信息丢失、哪些输出可达。最后通过换基和特征向量，寻找让同一个动作变得简单的坐标。后面的神经网络与微分方程都将反复使用这些语言。

本章学习目标

从基向量的像恢复一个线性变换，并解释矩阵乘法的次序。
把行列式、核与列空间分别联系到体积、信息丢失与可达性。
通过换基与特征方向简化反复作用。

准备知识：平面直角坐标、实数运算与简单方程。

本章各节¶

章节综合：一次看懂反复作用

把本章的概念放进同一个问题：矩阵 $A=\left[\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}\right]$ 反复作用于 $(3,1)$ ，怎样求第 $n$ 次结果？先不要连乘矩阵。寻找被保留的方向 $u=(1,1)$ 、 $v=(1,-1)$ ，它们的倍率分别为三和一，而且 $(3,1)=2u+v$ 。

因此 $A^n(3,1)=2\cdot3^n u+v=(2\cdot3^n+1,2\cdot3^n-1)$ 。取 $n=2$ 得 $(19,17)$ ，可用两次普通矩阵乘法交叉检查。换基把复合变成了对每份坐标单独乘倍率，特征向量的用途就在这里。

再问这个动作会丢失信息吗？两特征倍率都非零，行列式为三，面积扩大三倍且保持定向，所以可以求逆。若把第二倍率改为零，则所有沿 $v$ 的变化都不可见，原来唯一的坐标恢复变成多解问题。这样，基、矩阵复合、行列式、核与特征值就在一个例子中汇合了。

完成本章后，试着分别用一幅图、一段文字和一组坐标式解释这个问题。三种表达应讲述同一个动作。这里的综合推导供纸笔检查；机器证明仍以各课列出的实际定理为准。