2.4 三角函数的导数 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

在单位圆上，横坐标是余弦，纵坐标是正弦。先把角度调到四分之一圈：此时点在圆顶，纵坐标变化暂时最慢，而横坐标正向左快速变化。三角函数的导数因此可以先理解为圆周速度在两个坐标轴上的投影。

匀速转动时，速度朝切线方向，是位置向量逆时针转过直角后的方向。因此位置 $(\cos t,\sin t)$ 对应速度 $(-\sin t,\cos t)$ 。这里角度采用弧度，单位半径让角度增量和弧长一致；若采用度数，必须补上单位换算因子。

第三种情形加入径向增长，轨迹成为螺线。此时总速度同时包含切向分量和径向分量，不能再直接用“旋转九十度”表示全部速度。这个对照说明公式所依赖的是固定半径与单位角速度，而不是任意看起来像圆的运动。

单位圆上的位置写成 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 。角度增加一点，点沿圆的切向移动；切向与半径垂直，相当于把位置方向转九十度，得到 $(-\sin\theta,\cos\theta)$ 。两坐标分别告诉我们横向与纵向变化速度。

在圆最右侧，纵向高度增长最快，正弦的变化率为一；来到最上方，高度到达峰值，一阶变化率为零；再向左上方走，高度开始下降。这样先预测符号，再看公式 $\cos\theta$ ，公式就变成了运动记录。

为什么速度向量恰好有单位长度？因为单位圆上的弧度增量等于弧长增量。若用“度”作为输入，一个单位角度只走 $\pi/180$ 的弧长，导数必须多一个换算因子。导数不仅关乎函数形状，也关乎输入单位。

几何论证背后有一个极限：小弧段与切线方向的直线段越来越接近，例如 $\sin h/h\to1$ 。若用三角不等式或面积夹逼证明它，应在弧度约定下进行，不能把待证导数又拿来证明自身。

观看复平面动画时，同时观察位置箭头与垂直的速度箭头，再把它们分别投到横纵轴。你应能从图中解释正弦导数为何是余弦、余弦导数为何带负号。之后复合角度 $2x$ 的额外倍率，将由链式法则处理。

与本图相连的定义与证明：5.4 · 乘以 i 保持长度并旋转直角。本节的具体条件与形式化范围见下文。

单位圆上匀速运动的切向量，把位置向量旋转 $90^\circ$ 。因此横坐标 $\cos\theta$ 的速度是 $-\sin\theta$ ，纵坐标 $\sin\theta$ 的速度是 $\cos\theta$ 。

$(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x.$ 弧度让单位圆上的角度增量等于弧长增量，这是导数没有额外比例系数的原因。

例 2.4.1 把概念用于具体计算

在 $x=\pi/3$ 处，正弦高度为 $\sqrt3/2$ ，变化率为 $1/2$ 。峰值 $x=\pi/2$ 处的变化率为零。

$\sin(2x)$ 的导数是什么？

展开解答与检查

答案 $2\cos(2x)$ ，需要链式法则。

Lean 对照 2.4.1 命题、证明与适用边界

完整验证实正弦在任意实点的导数；采用 mathlib 的弧度三角函数。

Calculus.sine_derivative

theorem sine_derivative (x : ℝ) : HasDerivAt Real.sin (Real.cos x) x :=
  Real.hasDerivAt_sin x

原课对照观课问题、视频与图示

把圆周运动的速度投影到两个坐标轴，解释导数的正负号。

本条目在官方目录中未单列视频，参照上述官方图文阅读。