4.6 拉普拉斯变换：带衰减的频率探测

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01先辨认信号是在衰减还是增长

右图的二维轨线也可以看成复信号 $z(t)=e^{(\lambda+i\omega)t}z(0)$ 。选择衰减情形，幅度逐渐减小。拉普拉斯变换给信号再乘一个指数权重后积分，让我们用一个复参数同时探测衰减与振荡，而不仅是读取某个时刻的值。

02探测频率与信号频率相互比较

纯旋转信号幅度不衰减；若只无限累计它，普通意义的收敛就需要格外小心。乘上探测核 $e^{-st}$ 后， $s$ 的虚部比较旋转频率，实部提供衰减。右图展示被探测的信号，不直接画积分；应把信号轨迹与变换结果这两个对象区分开。

03收敛域是计算的一部分

改成增长信号。若其增长率为 $\lambda$ ，要使指数加权后的绝对积分收敛，需要 $\operatorname{Re}s>\lambda$ 。这一条件说明“给函数写一个变换式”不能脱离参数范围。图像可以提示增长趋势，最终的收敛判断仍由积分估计完成。

4.6.1 给频率测量增加一个衰减旋钮¶

傅里叶测量把信号乘上反向旋转，再累积。如果信号在无穷远持续增长，积分可能不收敛。拉普拉斯核加入指数衰减：写 $s=\sigma+\mathrm i\omega$ ，核为 $\mathrm e^{-\sigma t}\mathrm e^{-\mathrm i\omega t}$ 。一个旋钮控制遗忘远处的速度，另一个控制匹配频率。

对 $f(t)=\mathrm e^{at}$ ，乘核后是 $\mathrm e^{-(s-a)t}$ 。只有 $\operatorname{Re}s>a$ ，衰减才压过增长，积分得到 $1/(s-a)$ 。收敛条件来自积分的尾部，不是公式之外可有可无的小注释。

4.6.2 一张有理式不能代替全部变换信息¶

令 $a=2$ ，在实数 $s=3$ 处，原积分收敛且为一；在 $s=1$ ，有理式形式上给负一，但原积分发散。这个例子说明解析表达式延伸到某处有值，不意味着它仍代表定义积分。

单边变换从时间零开始，适合记录带初值的过程。选择单边或双边、选择何种收敛域，会影响反演与解释；因此每次使用变换表，都应同时读变换约定和适用区域。

这一节先把变换理解成一族带权测量。下一节真正有用的地方是：求导在这种测量下转为乘以 $s$ ，并留下起点信息。原本关于时间函数的微分方程，因此可能变成关于变换值的代数关系。

与本图相连的定义与证明：4.1 · 长度平方的增长只由径向项控制。本节的具体条件与形式化范围见下文。

数学表述 4.6.1¶

傅里叶核只旋转；拉普拉斯核同时旋转和指数加权。加入衰减可让原本无法绝对积分的函数变得可处理。

单边变换为 $F(s)=\int_0^\infty f(t)\mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d} t$ ， $s=\sigma+\mathrm{i}\omega$ 。对实 $a$ ， $\mathcal L\{\mathrm{e}^{at}\}(s)=\frac1{s-a},\qquad \operatorname{Re}s>a.$ 这个条件保证积分在无穷远收敛。

例 4.6.1 把概念用于具体计算

$f(t)=\mathrm{e}^{2t}$ 的变换在实 $s=3$ 处为 $1$ ，在 $s=1$ 处原积分发散，不能仅把形式有理式代进去当作积分值。

练习 4.6.1¶

常数函数 $1$ 的单边变换？

展开解答与检查

$1/s$ ，要求 $\operatorname{Re}s>0$ 。

Lean 对照 4.6.1 命题、证明与适用边界

验证实指数与拉普拉斯核相乘后合并为 $\mathrm{e}^{-(s-a)t}$ 的恒等式；不声称该恒等式本身证明了反演定理。

DifferentialEquations.laplace_kernel

theorem laplace_kernel (s a t : ℝ) :
    Real.exp (-s*t)*Real.exp (a*t)=Real.exp (-(s-a)*t) := by
  rw [← Real.exp_add]
  congr 1
  ring

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原课对照观课问题、视频与图示

比较旋转与衰减两个参数，留意公式的收敛域不能省略。

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