4.4 傅里叶级数：旋转与叠加

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01把复杂曲线拆成可单独追踪的成分

先在初始时刻观察两条正弦曲线及其和。局部看起来复杂的起伏，可能只是少数简单模式叠加。傅里叶展开把这种想法推广到一组频率，并用投影计算系数。右图只取两个分量，目的是让每个成分的贡献可以被直接辨认。

02同一种分解可以服务不同问题

推进时间后，每个系数按热方程的规则衰减，基函数本身没有更换。若研究声音，则常把系数看成不同频率成分；若研究旋转向量，则用复指数表示同样的频率结构。本窗口展示热扩散用途，并不把时间衰减当作所有傅里叶问题的固有属性。

03增加频率并不等于增加任意细节

改变第二个模式的频率，比较它与总曲线的关系。一个固定频率、振幅和相位只能添加特定的周期形状；重建一般目标函数需要很多系数，并受收敛方式影响。跳跃附近的行为尤其要单独分析，不能把有限平滑曲线的视觉效果直接推广到所有函数。

4.4.1 把复杂周期形状拆成简单运动¶

一条复杂周期曲线，可以尝试写成许多不同频率的正弦、余弦之和。每个频率只承担一种规则振动，幅度与相位说明它贡献多少、从哪里开始。复指数把一对正弦余弦合成平面旋转，使正负频率能用统一记号表达。

关键问题是怎样测出某个频率的系数。把信号乘上反向旋转的目标频率：与目标同频的部分变成常量，其他整倍频仍在一周期内转完若干圈，平均为零。因此积分能够挑出匹配部分，这就是正交性的作用。

4.4.2 系数公式之后还有收敛问题¶

对 $3+2\cos t$ ，常量三不旋转，余弦可拆成两个幅度为一、方向相反的旋转。这是可逐项验证的有限例子。先把它算明白，再处理一般系数公式，会更容易看清归一化因子和正负频率。

在热实验中改变高频振幅，可以看到同一个低频骨架怎样叠加出细节；随后推进时间，高频先衰减。傅里叶分解因而不仅是换一种画法，还把原本耦合的演化拆成独立系数的变化。

并非写出形式级数就证明它处处等于原函数。对跳跃点，常见分段光滑条件下级数趋向左右极限平均，还会出现局部振铃。讨论近似时必须说明点态、均方或其他意义。这里先掌握频率测量机制，把完备性和收敛留作明确的分析问题。

与本图相连的定义与证明：4.3 · 正弦模式满足热方程。本节的具体条件与形式化范围见下文。

数学表述 4.4.1¶

正弦、余弦可以合并成复平面上的旋转。不同频率的旋转向量相加，能表示复杂的周期变化。

对周期 $T$ ，令 $\omega_0=2\pi/T$ ， $f(t)\sim\sum_{n\in\mathbb Z}c_n\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\omega_0t},\qquad c_n=\frac1T\int_0^T f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i} n\omega_0t}\,\mathrm{d} t.$ 正交性使积分能够挑出对应频率。

例 4.4.1 把概念用于具体计算

$f(t)=3+2\cos t$ 的非零复系数为 $c_0=3,c_1=c_{-1}=1$ 。常数项不转，其余两个方向相反地旋转。

练习 4.4.1¶

$\sin t$ 的复系数？

展开解答与检查

$c_1=1/(2\mathrm{i}),c_{-1}=-1/(2\mathrm{i})$ 。

Lean 对照 4.4.1 命题、证明与适用边界

验证单频复指数模式的线性叠加恒等式；不将它冒充傅里叶完备性或收敛定理。

DifferentialEquations.fourier_superposition

theorem fourier_superposition (a b : ℂ) (θ : ℝ) :
    (a+b)*Complex.exp ((θ:ℂ)*Complex.I) =
      a*Complex.exp ((θ:ℂ)*Complex.I)+b*Complex.exp ((θ:ℂ)*Complex.I) := by ring

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原课对照观课问题、视频与图示

把信号与反向旋转相乘，观察匹配频率如何留下非零平均。

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