第 5 章基础数学 · 从直觉到证明

基础数学中最值得重新思考的，往往不是某个公式是否记住，而是表示方式为什么有用。配方把二次式变成平移后的平方；三角函数记录旋转；复数把平面中的旋转变成乘法。这些主题并非彼此孤立的技巧。

本章保留 Lockdown Math 的主题顺序，以公告导读说明学习方式，再围绕同一个问题反复转换图像、代数式与动态过程。指数和对数最终把连续变化与乘法联系起来。初学者可以先读这一章作为准备，已经熟悉这些概念的读者则可把它当作前面各章的连接与回访。

本章学习目标

准备知识：实数运算与初等代数；涉及连续变化的段落可结合第二章。

求复方程 $z^2-2z+2=0$ 。中心化后是 $(z-1)^2=-1$ ，所以两根为 $1+\mathrm i$ 与 $1-\mathrm i$ 。到这里，二次公式与复数扩展已经合在一起；接着用单位圆语言看它们，模长都是 $\sqrt2$ ，角度分别是正负四分之一的直角。

因此 $(1+\mathrm i)^4$ 无需展开四次：模长变成四，角度变成 $\pi$ ，结果为负四。用代数平方两次也得到同一结果，提供了独立检查。极坐标适合乘方，直角坐标适合加法，选择表示可以显著减少运算。

若继续取对数，主值为 $\frac12\ln2+\mathrm i\pi/4$ ，但所有对数还允许虚部增加 $2\pi k$ 。从乘方返回对数时必须保留这份角度信息，而不能把实数中的消去规则无条件搬过来。

复习本组时，给每个答案补一句“我现在使用哪一种表示、定义域和分支约定是什么”。这个习惯能把基础公式变成可迁移的推理工具。