2.12 面积为什么与斜率相连

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

右端点处的曲线高度只描述“此刻增加得多快”，而此前曲线下的面积描述“到此刻已累积多少”。移动终点时，哪怕已积面积很大，新增长条的高度仍只由边界附近决定。导数关注局部增量，因此不会把整个历史面积直接拿来当斜率。

减少矩形数后，估计会有明显误差，但每一块仍是高度乘宽度，物理单位也保持正确。若高度单位是米每秒、宽度是秒，面积单位就是米。单位检查让我们在正式求极限前，就能发现把速率与位移混在一起的错误。

对递增连续函数，左端点和与右端点和分别从下方和上方夹住面积。分割细化使二者之差趋零，直观上的“贴紧曲线”就有了定量表达。本图只画左端点和；你可以用端点高度差与区间宽度自行估计另一侧的误差界。

定义 $F(x)$ 为从固定起点累积到 $x$ 的面积。比较 $F(x+h)$ 与 $F(x)$ ，大部分旧区域完全相同，相减后只剩边界附近的一条窄带。因此求面积函数的变化率，不需要重新计算整块面积。

新增面积除以宽度 $h$ ，就是这条带的平均高度。如果原函数在边界连续，带内所有高度在足够窄时都接近 $f(x)$ ，平均高度也被夹在附近，所以极限就是 $f(x)$ 。连续性在这里负责让“小区间里高度差不多”成为可靠判断。

取 $f(t)=t$ ，从 $x$ 到 $x+h$ 的面积包含高度为 $x$ 的矩形和高为 $h$ 的小三角形。总增量 $xh+h^2/2$ 除以 $h$ 后为 $x+h/2$ ，趋向边界高度。三角形就是有限步长近似的误差来源。

注意 $F(x)$ 的高度与 $F'(x)$ 的斜率不是同一种量：前者已经累积，后者描述新贡献进来的速度。某个点两者数值碰巧相同，不意味着两函数相同；检查单位也能发现这个区别。

反向移动边界时，窄带被减去，宽度也带负号，同样得到一致的导数。由此可见有向积分不是人为增加的麻烦，而是让累积与变化在两个方向都遵守同一规则。下一节将继续追问：变化速度自己又如何改变？

与本图相连的定义与证明：2.11 · 连续速率的累积恢复原速率。本节的具体条件与形式化范围见下文。

右边界移动 $h$ ，新增窄条的高度接近 $f(x)$ 。窄条面积除以宽度，便接近原图的高度。

$F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h}f(t)\,\mathrm{d} t$ 。若 $f$ 在 $x$ 连续，平均高度趋向 $f(x)$ ，所以 $F'(x)=f(x)$ 。

例 2.12.1 把概念用于具体计算

$f(t)=t$ 时， $F(x)=\int_0^x t\,\mathrm{d} t=x^2/2$ 。在 $x=2$ 的累积面积为 $2$ ，面积增长速度也为 $2$ ，两者单位不同。

从 $x=2$ 移到 $2+h$ 的精确面积增量？

展开解答与检查

$2h+h^2/2$ ；一次近似忽略的部分是三角形面积。

Lean 对照 2.12.1 命题、证明与适用边界

完整验证 $\int_0^a x\,\mathrm{d} x=a^2/2$ ，也涵盖有向积分 $a<0$ 的情况。

Calculus.triangle_area

theorem triangle_area (a : ℝ) : (∫ x in (0:ℝ)..a, x) = a^2/2 := by
  simp [integral_id]

原课对照观课问题、视频与图示

移动面积边界，只看新添窄带，说明平均高度为什么趋向边界高度。

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