第 4 章微分方程 · 从直觉到证明

很多问题给出的不是位置或温度本身，而是它们如何变化。微分方程把这样的局部规律写下来；求解则需要同时处理规律、初始状态和边界条件。仅画出一条漂亮曲线，不足以说明它解决了原问题。

本章从常微分方程的状态变化走向热扩散，再用傅里叶模式拆解复杂形状。每个模式各自演化，叠加恢复整体；矩阵指数和拉普拉斯变换则从另一条路组织同样的线性结构。线性代数中的特征方向，在这里变成具有不同时间尺度的演化模式。

本章学习目标

分别检查方程、初值和边界条件。
解释频率为何控制热方程中不同模式的衰减速率。
把矩阵指数与拉普拉斯方法联系到线性演化。

准备知识：第二章的导数和积分，第一章的线性组合与特征值。

本章各节¶

章节综合：先分模式，再读时间尺度

取周期边界上的初值 $u(x,0)=\sin x+2\sin(3x)$ ，扩散系数为一。两个模式分别是空间二阶导算子的特征函数，所以解为 $u(x,t)=\mathrm e^{-t}\sin x+2\mathrm e^{-9t}\sin(3x).$ 在 $t=\ln2$ 时，第一振幅为 $1/2$ ，第二振幅为 $2/2^9=1/256$ 。总曲线几乎由低频决定，这个判断来自明确倍率，而不仅是动画看起来变平滑。

把每一项分别对时间求一次导、对空间求两次导，便能检查方程两边相等；再设 $t=0$ 检查初值；最后检查区间两端的周期匹配。三个检查分别对应方程、起点和边界，不能互相代替。

本例只含有限两项，线性叠加没有交换无限求和与导数的困难。若想推广到任意初始曲线，仍需傅里叶展开与收敛理论。理解一个解的可靠方式，是同时说清计算为何有效，以及推广时新增了哪些问题。