1.15 快速求二维特征值 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

二维矩阵的特征多项式是 $\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)$ 。两根之和由迹决定，所以先把未知根写成中心加减偏移。右图对称例子的中心为两个对角项的平均数，这一步减少了未知信息。

两根相乘等于行列式，因此偏移的平方等于中心平方减去行列式。对实对称矩阵，这恰是 $((a-d)/2)^2+b^2$ ，不会为负。可用右图改变非对角项，观察中心不变而两根向两侧分开的过程。

公式算出的根还应代回特征方程并检查方向。一般实矩阵的判别式可以为负，此时实平面中找不到非零的保持方向。快速方法的价值在于识别结构，并非免去对数域、重根和可对角化条件的判断。

二维特征多项式是 $\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)$ 。不急着套二次公式，先把未知数移到两根的平均位置。令 $m=(a+d)/2$ ，写 $\lambda=m+r$ ，一次项便抵消，剩下的只是偏移距离 $r$ 。

整理得到 $r^2=((a-d)/2)^2+bc$ 。对角元差和交叉作用的乘积共同决定偏移；迹的一半决定中心。配方因此揭示了结构，而不只是缩短算式。平方偏移的正负还告诉我们实根存在与否。

对 $\left[\begin{smallmatrix}4&2\\1&3\end{smallmatrix}\right]$ ，中心是 $3.5$ ，平方偏移为 $2.25$ ，根是 $5,2$ 。检查它们的和等于迹 $7$ ，积等于行列式 $10$ 。两项核对能发现不少算术或符号错误。

若根号内为负，在实数域没有根，在复数域仍有一对共轭根。旋转动作完全可以很自然，却没有实的保留方向；这个例子提醒我们区分“实数中无解”和“任何意义上都无解”。

若根重合，还必须看特征空间维数。单位矩阵保留所有方向，而非平凡剪切只有一条特征直线，虽然两者都能有重根。这个方法加快的是特征值计算，没有省掉判断可对角化的工作。把和、积、特征方向三种检查一起使用，快速计算才不会掩盖问题结构。

与本图相连的定义与证明：1.14 · 一例对称矩阵的两个特征方向。本节的具体条件与形式化范围见下文。

两个根的平均值由迹的一半决定，偏离平均值的距离由判别式决定。先中心化，再处理平方根，比直接套长公式清楚。

令 $m=(a+d)/2$ ，则 $\lambda_{\pm}=m\pm\sqrt{((a-d)/2)^2+bc}.$ 根号内为负时，应在复数域解释。来源是特征多项式配方。

例 1.15.1 把概念用于具体计算

$A=\left[\begin{smallmatrix}4&2\\1&3\end{smallmatrix}\right]$ ， $m=3.5$ ，根号内 $0.25+2=2.25$ ，故特征值 $5,2$ 。和为迹 $7$ ，积为行列式 $10$ 。

$\left[\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}\right]$ 的根？

展开解答与检查

根号内 $-1$ ，为 $\pm\mathrm{i}$ 。

Lean 对照 1.15.1 命题、证明与适用边界

验证配方后的特征多项式恒等式。平方根的取值与实根存在性在正文中单独讨论。

LinearAlgebra.characteristic_centering

theorem characteristic_centering (a b c d t : ℝ) :
    (t-a)*(t-d)-b*c = (t-(a+d)/2)^2-(((a-d)/2)^2+b*c) := by ring

原课对照观课问题、视频与图示

把两根写成中心加减偏移，核对迹和行列式分别提供了什么信息。

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