5.4 复数：缩放与旋转 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01把一对实数当作一个可相乘的对象

复数 $a+bi$ 对应平面中的点，但关键增加的是乘法规则。乘以 $i$ 把实轴正方向转到虚轴正方向，继续乘一次就到负实轴。右图先停在四分之一圈，用位置而非符号记忆来理解这个动作。

02两次直角旋转解释平方为负一

半圈对应两次乘以 $i$ ，因此 $i^2=-1$ 与平面旋转相容。一般复数乘法则把模长相乘、辐角相加。这种结构让复数适合同时记录缩放和旋转；它不是在实数轴上寻找一个平方为负数的普通实数。

03连续的缩放与转动可以合成

在螺线情形中，每一小段运动同时改变长度和方向。用复数相乘，两个动作可以用一个数统一表示。零复数没有确定辐角，取辐角还存在整圈的不唯一性；这些边界在研究复对数时会再次出现，不能被圆上的直观省略。

5.4.1 扩展数系，也扩展乘法能表达的动作¶

实数乘法能沿数轴缩放或反向，却无法表示平面中的四分之一圈。引入 $\mathrm i$ 并规定 $\mathrm i^2=-1$ ，可以把实数对写成 $a+b\mathrm i$ 。乘以 $\mathrm i$ 得到 $-b+a\mathrm i$ ，正是把平面坐标转九十度。

两次四分之一圈合为半圈，所以 $\mathrm i^2=-1$ 的几何解释与代数规则一致。这个扩展不是让原有规则随意失效，而是在保留加法乘法基本规律的同时，让原本无实数解的方程得到新的表示。

5.4.2 同一个乘法有两种阅读方式¶

直角坐标形式适合展开：按分配律相乘，再把 $\mathrm i^2$ 换成负一。极坐标形式适合看整体动作：模长相乘、角度相加。对 $(1+\mathrm i)^2$ ，展开得 $2\mathrm i$ ；几何上是两次四十五度旋转，模长 $\sqrt2$ 也相乘为二。

求倒数则需要撤销这两个动作：模长取倒数、角度取负。乘共轭能在坐标中实现同一件事，因为分母变成模长平方。请把 $1/(1+\mathrm i)$ 先画成反向旋转加缩小，再算出 $(1-\mathrm i)/2$ 。

复数有自然的长度和角度，却没有与实数完全相同的有序大小关系。谈“更大”时要说明是模长、实部还是别的量。下一节指数语言会把这套旋转与缩放规则进一步统一。

定义 5.4.1　复数的模长

对 $z=a+bi$ ，定义 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 。它等于复平面中从原点到该点的距离。

命题 5.4.1　乘以 i 保持长度并旋转直角

若 $z=a+bi$ ，则 $iz=-b+ai$ ，且 $|iz|=|z|$ ；对非零 $z$ ，该操作是逆时针直角旋转。

证明 · 展开纸笔推导

由 $i^2=-1$ ，有 $i(a+bi)=ai-b$ 。坐标变换为 $(a,b)\mapsto(-b,a)$ ，新旧长度平方均为 $a^2+b^2$ ，点积则为 $-ab+ab=0$ 。

再检查 $(1,0)$ 被送到 $(0,1)$ ，就确定了旋转方向。零向量同样保持长度，但没有可供比较的辐角。

□

数学表述 5.4.1¶

实数乘法能缩放数轴，复数乘法还能旋转平面。新单位 $\mathrm{i}$ 满足 $\mathrm{i}^2=-1$ ，与二维坐标运算一致。

$(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm{i}$ 。若写成极坐标 $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ ，相乘时模长相乘、角度相加。

例 5.4.1 把概念用于具体计算

$(1+\mathrm{i})^2=2\mathrm{i}$ ：两个 $45^\circ$ 旋转合为 $90^\circ$ ，模长从 $\sqrt2$ 平方为 $2$ 。

练习 5.4.1¶

$1/(1+\mathrm{i})$ 是什么？

展开解答与检查

乘共轭得 $(1-\mathrm{i})/2$ 。

Lean 对照 5.4.1 命题、证明与适用边界

验证复数单位的核心关系 $\mathrm{i}^2=-1$ ；其余运算公式可通过复数域的代数规则推出。

Lockdown.complex_square_i

theorem complex_square_i : Complex.I^2 = -1 := Complex.I_sq

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原课对照观课问题、视频与图示

比较坐标展开与旋转缩放两种乘法解释，检查倒数如何撤销动作。

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