4.5 复指数与旋转的物理图像

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01把乘以虚数看成速度规则

对复平面上的位置 $z$ ，乘以 $i$ 会把它逆时针转过直角。如果规定速度为 $z'=iz$ ，速度就始终与半径垂直，且大小与半径相等。右图的蓝色短箭头表示这个方向，位置点因此沿圆运动，而不是沿固定直线前进。

02连续执行局部规则得到整体旋转

转到半圈时，单位初值到达负实轴。复指数把整段演化记成 $e^{it}$ ：指数中的参数是持续执行局部旋转规则的时间。它与实指数的增长共享同一种微分结构，只是实数倍率改变长度，虚数倍率改变方向。

03实部与虚部各负责一种变化

加入正的实部增长率后，速度既有径向分量，也有切向分量，轨迹变为螺线。公式 $e^{(\sigma+i)t}=e^{\sigma t}e^{it}$ 正好把这两种作用分开。窗口固定角速度为一；一般角速度应写入虚部，并与实际时间单位保持一致。

4.5.1 把两个实分量装进一个复数¶

平面位置 $(x,y)$ 可以写成 $z=x+\mathrm i y$ 。乘以 $\mathrm i$ 后得到 $-y+\mathrm i x$ ，恰是把位置旋转九十度。若速度满足 $z'=\mathrm i\omega z$ ，它始终与位置垂直，所以位置沿圆周运动，角速度由 $\omega$ 控制。

再加上实系数 $\sigma$ ，速度多出一份沿径向的 $\sigma z$ ：正值向外、负值向内。因此 $z'=(\sigma+\mathrm i\omega)z$ 同时包含缩放与旋转，解呈现向外或向内的螺旋。

4.5.2 实部与虚部分别控制什么¶

解中的 $\mathrm e^{\sigma t}$ 决定模长倍率， $\mathrm e^{\mathrm i\omega t}$ 决定转过的角度。对于 $-1+2\mathrm i$ ，模长按 $\mathrm e^{-t}$ 衰减，角度每单位时间增加二弧度。这两个独立作用相乘，比用两个三角方程追踪更紧凑。

观察复平面动画时，蓝箭头是位置，黄箭头是速度方向。先预测转过四分之一圈后两者指向哪里，再播放。纯虚系数不改变模长，有限数值步进却可能产生半径漂移，应区别精确轨迹与近似算法。

复数在这里是一种高效的二维表示，不是额外虚构的物理空间。实际测量可以取实部，另一分量负责保存相位关系。这种表示将继续进入傅里叶与拉普拉斯变换，用统一的指数核记录振动与衰减。

与本图相连的定义与证明：5.4 · 乘以 i 保持长度并旋转直角。本节的具体条件与形式化范围见下文。

数学表述 4.5.1¶

乘以 $\mathrm{i}$ 表示旋转 $90^\circ$ 。若速度始终是位置旋转后的向量，运动便沿圆周持续进行。

$z'=(\sigma+\mathrm{i}\omega)z$ 的解为 $z(t)=z_0\mathrm{e}^{\sigma t}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}$ 。实部 $\sigma$ 控制增长或衰减，虚部 $\omega$ 控制角速度。

例 4.5.1 把概念用于具体计算

$z'=(-1+2\mathrm{i})z$ 产生向内螺旋：模长按 $\mathrm{e}^{-t}$ 衰减，角度每单位时间增加 $2$ 弧度。

练习 4.5.1¶

$\mathrm{e}^{3\mathrm{i} t}$ 的模长和周期？

展开解答与检查

模长 $1$ ，周期 $2\pi/3$ 。

Lean 对照 4.5.1 命题、证明与适用边界

完整验证任意实角度的纯旋转复指数模长为一。

DifferentialEquations.rotating_exponential_norm

theorem rotating_exponential_norm (θ : ℝ) :
    ‖Complex.exp ((θ:ℂ)*Complex.I)‖ = 1 := Complex.norm_exp_ofReal_mul_I θ

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原课对照观课问题、视频与图示

同时观察位置和速度方向，分别解释指数实部和虚部的作用。

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