1.10 叉积与有向面积 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01先看有向底面，再引入法向量

两根空间向量张成一个平行四边形。叉积把底面的两个信息合并成一根箭头：模长记录面积，方向垂直于底面并编码输入次序。旋转视角应当只改变屏幕外观，不应改变下面计算得到的面积。

02倾斜底面时法线也要跟着转

把第一根向量抬离平面，红色法向量随底面转动。检查它与两条边的点积都为零，就把“看起来垂直”变成了坐标验证。交换两条边的次序会反转法线，但不会改变平行四边形的普通面积。

03共线情形检验定义是否合理

当两根向量平行时，底面没有面积，叉积应为零。零向量没有唯一方向，因此此时不应继续讨论它指向哪个法线方向。叉积的三维构造把面积与定向联系起来，却不能不加条件地照搬到任意维数。

1.10.1 用一根箭头保存一块面的信息¶

两个三维向量围成一个平行四边形。要同时保存它的面积与朝向，单独一个数不够，而法向量能提供方向。我们约定输出长度等于面积，方向符合选定的右手规则，就得到叉积。它把一块有向面压缩成一根箭头。

沿 $u$ 再沿 $v$ 绕边界，与倒过来绕，围出同一块面，但绕行方向相反。所以交换输入次序，面积大小不变，法向量必须反向。两输入平行时，面塌缩，叉积为零。这两个极端情形可以用来检查任何候选公式。

1.10.2 让坐标公式接受几何检查¶

计算前先列要求：输出与两个输入都垂直；任意一边扩大两倍，输出也扩大两倍。坐标公式中的二阶行列式满足这些要求。与 $u$ 点乘时，各项成对抵消，解释了垂直性，而不只是留下一个需要背的三分量式子。

取 $u=(1,2,0),v=(0,1,3)$ ，输出 $(6,-3,1)$ 。分别点乘检查与两边正交，再按右手方向检查符号。正交本身不能区别正反，也不能固定长度，因此几个检查必须合起来使用。

下一节会从体积测量反推这根法向量，把点积、行列式和叉积联系起来。那时也会看清这里依赖三维、内积和定向。抽象向量空间中有加法与数乘，并不意味着自动具有同一个叉积运算。

定义 1.10.1　叉积

对三维向量 $u,v$ ，定义 $u\times v=(u_2v_3-u_3v_2,\ u_3v_1-u_1v_3,\ u_1v_2-u_2v_1)$ ，方向采用右手定向。

命题 1.10.1　叉积与两个输入都垂直

对任意 $u,v\in\mathbb R^3$ ，有 $u\cdot(u\times v)=0$ 且 $v\cdot(u\times v)=0$ 。叉积可能是零向量。

证明 · 展开纸笔推导

展开第一个点积，得到 $u_1u_2v_3-u_1u_3v_2+u_2u_3v_1-u_2u_1v_3+u_3u_1v_2-u_3u_2v_1$ 。各项两两抵消，因此和为零。

对第二个点积做同样展开即可。零向量也满足两个点积为零，所以该结论没有宣称平行输入仍产生一个有确定方向的非零法向量。

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数学表述 1.10.1¶

在定向三维欧氏空间中，叉积垂直于两个输入向量；长度等于它们张成的平行四边形面积，方向由右手规则决定。

$(a,b,c)\times(x,y,z)=(bz-cy,cx-az,ay-bx).$ 从坐标展开可得 $u\cdot(u\times v)=0$ ；交换顺序改变符号。

例 1.10.1 把概念用于具体计算

$(1,2,0)\times(0,1,3)=(6,-3,1)$ 。与第一个向量点积为 $6-6=0$ ，与第二个点积也为 $-3+3=0$ 。

练习 1.10.1¶

$(1,0,0)\times(0,1,0)$ 是什么？

展开解答与检查

答案 $(0,0,1)$ ；反过来为 $(0,0,-1)$ 。

Lean 对照 1.10.1 命题、证明与适用边界

完整验证一般三维实坐标下，叉积与第一个输入正交。

LinearAlgebra.cross_orthogonal

theorem cross_orthogonal (a b c x y z : ℝ) :
    a*(b*z-c*y)+b*(c*x-a*z)+c*(a*y-b*x) = 0 := by ring

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原课对照观课问题、视频与图示

同时检查叉积的垂直方向、面积大小和输入顺序改变后的符号。

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