2.16 导数作为局部变换 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01在输出中追踪一根小输入箭头

把观察点固定，在输入轴上画一段小位移 $h$ ，再比较输出变化。曲线通常不是线性变换，但在足够小的尺度上，输出变化可由一个固定倍率近似。这个倍率就是导数。右图的割线把有限位移联系起来，切线显示局部替代模型。

02缩小尺度，分离主项与误差

局部线性化应写成 $f(a+h)-f(a)=f'(a)h+o(h)$ 。余项不仅要趋零，还要相对于输入尺度 $h$ 更小。平方函数的剩余项是 $h^2$ ，因此除以 $h$ 后消失。这个相对误差条件才支持把导数视作真正的一阶变换。

03从一个倍率走向矩阵

移动观察点，局部倍率随位置更新。在多变量情形，小位移有多个方向，导数便成为作用在位移向量上的线性映射，用雅可比矩阵表示。本图只展示一维版本；链式法则在多维中相应变成矩阵复合，并须保持输入输出空间的次序。

2.16.1 暂时不画函数曲线，改画两条数轴¶

把输入数轴上的小点送到输出数轴，函数就成为点的移动规则。在 $a$ 附近放两个很近的点，它们的输出间距约是输入间距的 $f'(a)$ 倍。正导数保序，负导数反序，绝对值表示局部放大程度。

对平方函数，在三附近，输入间距大约被放大六倍；在负三附近，倍率是负六，输出次序反转。零点的导数为零，说明一阶间距被压掉，但二阶变化仍在，所以附近函数没有变成常数。

2.16.2 线性代数与微积分在这里接上¶

局部表达 $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)$ ，把固定输出位置与输入微扰的线性响应分开。推广到多变量，数字 $f'(a)$ 会变成一个线性映射或雅可比矩阵；它描述附近小箭头怎样改变，正如前面的矩阵变换。

复合函数先通过内层局部变换，再通过外层局部变换，所以导数相乘。多变量情形使用矩阵乘法，顺序依旧是右边先做。链式法则因此不仅是一条求导技巧，也是一条局部动作的复合规律。

请在纸上画输入与输出两条平行数轴，用连线表示三个邻近输入的像，再根据间距预测导数正负。这个视角尤其适合解释函数图像难以直接画出的高维问题，也为神经网络中的敏感性分析准备了语言。

与本图相连的定义与证明：2.2 · 平方函数的差商与误差。本节的具体条件与形式化范围见下文。

数学表述 2.16.1¶

把函数看成移动数轴上的点。导数说明一点附近的间距被放大多少，以及是否反向；这种看法可自然推广为多变量的线性映射。

可导性也可写作 $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)$ 。复合的线性部分相乘，正是链式法则。

例 2.16.1 把概念用于具体计算

$x\mapsto x^2$ 在 $a=3$ 附近约放大 $6$ 倍，在 $a=-3$ 附近反向并放大 $6$ 倍。在零点导数为零，但函数没有在整个邻域变成常数。

练习 2.16.1¶

先缩放 $b$ 倍，再缩放 $a$ 倍，总倍率？

展开解答与检查

$ab$ ；若 $a,b$ 均为负，复合保持方向。

Lean 对照 2.16.1 命题、证明与适用边界

完整验证两个线性缩放复合后的导数为 $ab$ 。一般非线性链式法则另见本章对应定理。

Calculus.derivative_composition_scale

theorem derivative_composition_scale (a b x : ℝ) :
    HasDerivAt (fun t : ℝ => a*(b*t)) (a*b) x := by
  simpa using ((hasDerivAt_id x).const_mul b).const_mul a

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原课对照观课问题、视频与图示

把函数看成数轴上点的移动，判断局部间距的放大与反向。

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