2.1 从面积发现微积分 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

把横轴看作时间，把曲线高度 $x^2$ 看作某个时刻的流入速率。一个窄矩形的宽是持续时间，高是近似速率，因此面积是这段时间流入的量。先只放少量矩形：每块都把一段变化中的速率当成常数，所以结果会偏离真正的累积。

增加分割数时，每段内速率的变化变小，矩形顶部更贴近曲线。这里函数连续且递增，左端点和低估面积。关键不是图形越来越好看，而是可以把每段误差相加并控制总误差；无穷多小块只能在这样一个极限过程中得到明确含义。

保持分割足够细，再改变右端点 $b$ 。原先已经累计的部分没有改变，新增部分是一条宽度约为 $h$ 、高度约为 $b^2$ 的窄带。因此面积函数的增量约为 $b^2h$ 。将增量除以 $h$ 后取极限，就把“累积的变化率”接回了原速率。

圆面积是 $\pi R^2$ ，但若只背公式，就不知道它为什么与半径平方有关。把圆按距离中心的远近分成薄圆环：半径为 $r$ 的那一层，长度约为周长 $2\pi r$ ，厚度为一个小增量。越外层越长，因此总面积是在累积不断增加的周长。

有限厚度的圆环并不等于长方形。外半径比内半径大 $h$ 时，精确面积是 $2\pi rh+\pi h^2$ ；长方形近似少算了 $\pi h^2$ 。当我们把厚度切细，总误差能否趋零，才是从近似过渡到公式的关键。这也是极限需要出场的原因。

现在假设面积函数已经知道，半径稍微增加时，面积增加多快？用新增面积除以 $h$ ，得到 $2\pi r+\pi h$ ，它趋向周长。于是“把周长累积起来”和“观察面积的瞬时变化”互相连接，这就是积分与导数关系的原型。

先在更简单的直线高度 $f(x)=x$ 上练习。到 $x$ 为止的三角形面积是 $x^2/2$ ，多出宽度 $h$ 时，新增矩形与小三角形的面积为 $xh+h^2/2$ 。除以宽度后，平均高度趋向边界高度 $x$ 。

看面积实验时，分别注意矩形总和与真实曲线间的差，不只看矩形数量增加。问题不是“小块很多所以看起来差不多”，而是能否让误差随切分变细而受控。后面的章节将先解释导数，再回到这一累积与变化的连接。

与本图相连的定义与证明：2.11 · 连续速率的累积恢复原速率。本节的具体条件与形式化范围见下文。

把圆切成许多薄圆环，半径 $r$ 处的环面积近似为 $2\pi r\,\Delta r$ 。将所有圆环加起来，自然得到面积是周长的累积。

$A(R)=\int_0^R2\pi r\,\mathrm{d} r=\pi R^2$ ，而 $A'(R)=2\pi R$ 。一般地，连续 $f$ 的累积函数 $F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d} t$ 满足 $F'=f$ 。

例 2.1.1 把概念用于具体计算

对更简单的 $f(t)=t$ ，面积函数为 $F(x)=x^2/2$ ，因此增加小宽度 $h$ 的面积是 $xh+h^2/2$ ；除以 $h$ 后趋向高度 $x$ 。

半径从 $2$ 增到 $2+h$ ，圆面积多多少？

展开解答与检查

精确值 $4\pi h+\pi h^2$ ，一阶近似 $4\pi h$ 。

Lean 对照 2.1.1 命题、证明与适用边界

完整验证简化面积函数 $x^2/2$ 的导数为 $x$ ；圆环几何分割未形式化。

Calculus.area_derivative

theorem area_derivative (x : ℝ) :
    HasDerivAt (fun t : ℝ => t^2/2) x x := by
  convert (hasDerivAt_pow 2 x).div_const 2 using 1
  ring

原课对照观课问题、视频与图示

观察面积拆分中的小块近似，指出误差在哪里、为什么会随着切分变细而减小。

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