5.2 更简洁的二次公式 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

对一元二次式，配方把一次项吸收到平移后的平方中，两个实根便围绕同一个中心对称。右图的对称矩阵提供一个相关例子：其特征值满足二次特征方程，两个根的中点是迹的一半。这里先读矩阵，再把它当作检验配方结果的具体对象。

当前矩阵的对角元相等，特征方向之一沿两坐标同号的对角线，放大倍率为三。把特征方程写成围绕中心二的平方关系，就得到向右偏移一的根。一般配方的中心与偏移应从系数计算，而不是凭图上看起来对称直接猜出。

转到另一条特征方向，放大倍率为一，恰好在中心二的另一侧。这个例子有两个实根，因为实对称矩阵的特征值为实数；普通二次方程还可能出现负判别式。图示说明配方的对称结构，不能把本例的实根性质推广到任意系数。

若两个数的和已知，就知道它们的平均值。把两根写成 $m-d,m+d$ ，和自动成为 $2m$ ，只剩一个未知偏移 $d$ 。它们的积是 $m^2-d^2$ ，因此给定和与积之后，问题只剩求一个平方。

对 $x^2-10x+21=0$ ，两根中心是五，偏移平方是 $25-21=4$ ，于是根为三和七。这里不是省略了求根原理，而是选择了让对称性直接显现的变量。配方 $(x-5)^2=4$ 是同一想法的另一种写法。

面对 $Ax^2+Bx+C=0$ ，先确认 $A\ne0$ ，再除以它，把二次项系数变为一。中心是 $-B/(2A)$ ，剩下的判别信息来自偏移平方。若它为零，两根重合；若为负，实数中无根，但复数中仍可解释。

还可以从抛物线看：平移到对称轴后，一次项消失，左右两交点围绕中心成对出现。方程的代数对称性和图像对称轴于是对应起来。

解完后检查两根的和与积，能快速发现符号错误。这个方法以后还会出现在二维特征值计算中：迹给根的和，行列式给根的积。基础代数不是独立的技巧仓库，它会在更高层问题里反复提供结构。

与本图相连的定义与证明：1.14 · 一例对称矩阵的两个特征方向。本节的具体条件与形式化范围见下文。

把两个根看成“中心 $m$ 加减偏移 $d$ ”，和与积就变为 $2m$ 与 $m^2-d^2$ 。

对 $x^2-2mx+p=0$ ，配方得到 $(x-m)^2=m^2-p$ ，所以 $x=m\pm\sqrt{m^2-p}$ 。一般二次式须先除以非零二次项系数。

例 5.2.1 把概念用于具体计算

$x^2-10x+21=0$ ，根的中心为 $5$ ，偏移平方为 $25-21=4$ ，故根为 $3,7$ 。

根的和为 $8$ 、积为 $12$ ，求根。

展开解答与检查

中心 $4$ ，偏移 $2$ ，答案 $2,6$ 。

Lean 对照 5.2.1 命题、证明与适用边界

完整验证配方恒等式；从平方等式分类实根或复根需另行处理。

Lockdown.quadratic_centering

theorem quadratic_centering (x m p : ℝ) :
    x^2-2*m*x+p=(x-m)^2-(m^2-p) := by ring

原课对照观课问题、视频与图示

先找两根的平均值，再求偏移；用根的和与积核对答案。

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