2.17 散度与旋度 · 从直觉到证明

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01先看小桨轮，而非单个粒子

选择纯旋转场。每个点沿圆周运动，速度处处与半径垂直；把一个很小的桨轮放入场中，它会旋转，但一小团粒子的面积不会改变。对于场 $F=(-\omega y,\omega x)$ ，散度为零，平面旋度为 $2\omega$ 。旋度读数与角速度差一个因子二。

02再看小片区域是否膨胀

选择径向增长场，速度与位置成正比。小片区域的两条边都按同一比例增长，面积的瞬时相对增长率因此是 $2\lambda$ 。这解释散度为什么把不同坐标方向的伸缩率相加。单条轨线远离原点，并不单独构成散度的定义。

03旋转与压缩可以同时发生

第三种场把旋转与收缩叠加，粒子沿螺线向内运动。右图展示的是这一常系数场的轨线；散度与旋度分别检测局部面积变化和局部转动。一般空间变化的场需要在每个位置做局部计算，不能只看整条轨迹像不像旋涡。

2.17.1 流动场的一根箭头还不够¶

向量场在每个位置给出速度。要判断附近区域膨胀还是旋转，不能只看中心那根箭头，还要看周围箭头怎样变化。放入一个很小的方框，比较各边的流入与流出，就能测量局部净扩张趋势。

对 $F=(P,Q)$ ，左右边的水平流量差主要来自 $P_x$ ，上下边的垂直差来自 $Q_y$ 。除以小面积再取极限，得到散度 $P_x+Q_y$ 。它关心的是速度变化带来的净流出，而不是速度本身大不大。

2.17.2 环流与膨胀是不同测量¶

再沿小方框边界绕一圈，计算速度沿切向的贡献。相对边的差产生 $Q_x-P_y$ ，这是平面旋度。场 $(-y,x)$ 让小桨轮转动，却不膨胀，所以散度零、旋度非零。

场 $(2x,-2y)$ 则横向拉伸、纵向压缩，瞬时面积效应抵消，散度为零，也没有局部环流。零散度不是“什么都没发生”，而是两方向的面积效应恰好平衡。对这种线性场，追踪小方形会比看单根箭头清楚。

这些量都是局部一阶信息。把它们与整个区域的边界流量联系起来，需要散度定理或斯托克斯定理及其条件。这里只建立局部测量的意义；遇到全局势函数问题，还必须检查定义区域，而不能仅凭某一点或某个局部公式作结论。

与本图相连的定义与证明：4.1 · 长度平方的增长只由径向项控制。本节的具体条件与形式化范围见下文。

数学表述 2.17.1¶

散度衡量微小区域的净流出趋势，旋度衡量局部环流趋势。二者是不同的局部测量。

对平面向量场 $F=(P,Q)$ ， $\nabla\cdot F=P_x+Q_y$ ，标量旋度为 $Q_x-P_y$ 。对于 $F=(ax,by)$ ，散度为 $a+b$ ；对于 $F=(-y,x)$ ，散度为零、旋度为 $2$ 。

例 2.17.1 把概念用于具体计算

场 $(x,y)$ 让面积按瞬时相对速率 $2$ 膨胀；旋转场 $(-y,x)$ 保持局部面积却产生旋转。

练习 2.17.1¶

$F=(2x,-2y)$ 的散度和旋度？

展开解答与检查

均为零，但它仍会拉伸一个方向并压缩另一个方向。

Lean 对照 2.17.1 命题、证明与适用边界

计算对角线性向量场的两个偏方向导数之和；未形式化散度定理或斯托克斯定理。

Calculus.planar_divergence

theorem planar_divergence (a b : ℝ) :
    deriv (fun x : ℝ => a*x) 0 + deriv (fun y : ℝ => b*y) 0 = a+b := by
  have ha : deriv (fun x : ℝ => a*x) 0 = a := by
    simpa using ((hasDerivAt_id (0:ℝ)).const_mul a).deriv
  have hb : deriv (fun x : ℝ => b*x) 0 = b := by
    simpa using ((hasDerivAt_id (0:ℝ)).const_mul b).deriv
  rw [ha, hb]

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原课对照观课问题、视频与图示

同时放入小方框和小桨轮，分别判断净流出与局部环流。

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