4.3 用基本模式求解热方程

一步一步建立直观

先预测，再点“演示本步”核对右图。每一步都重设到指定情形，随后可以自由修改参数。

01选择在求导后仍保持形状的模式

正弦函数二次求导后仍是同一个正弦形状，只多了负的频率平方。于是试设温度为一个正弦模式乘以随时间变化的振幅，偏微分方程就变成振幅的常微分方程。右图蓝线与橙线分别承担一个模式，紫线是二者相加。

02把空间弯曲转成振幅衰减

频率为 $n$ 的模式满足振幅变化率等于 $-n^2$ 倍当前振幅，所以衰减因子为 $e^{-n^2t}$ 。观察同一时刻的两个振幅读数，就能把“尖细起伏消失得快”的图像翻译成定量关系。这里扩散系数取一，其他系数会相应改变时间尺度。

03叠加有效，是因为方程线性

加大高频频率后，紫线更快接近低频模式。能够逐个演化再相加，依赖热方程的线性。若把有限个模式进一步推广成无限傅里叶级数，还需说明级数与求导、取极限之间的交换条件；两个模式的图示不能自动完成这些分析论证。

4.3.1 寻找扩散时不改变形状的波¶

任意温度曲线难追踪，但正弦有一个特殊性质：对空间求两次导数，仍是自身乘一个负常数。若初始形状是 $\sin(kx)$ ，热方程只要求振幅随时间满足 $A'=-\kappa k^2A$ ，所以振幅指数衰减，形状保持。

这与线性代数的特征方向相似。求二阶导是一个线性算子，正弦是它的特征模式；热演化在每个模式上只改变系数。对固定零温边界，频率还必须使正弦在两个端点都为零，因此允许的 $k$ 不是任意数。

4.3.2 高频为什么先消失¶

频率增为三倍，二阶导倍率增为九倍，因此高频振幅衰减得更快。温度曲线上细小急促的起伏先被抹平，宽缓结构保留更久；“热让分布平滑”由此有了可计算的原因。

动画采用周期边界的一低一高两个模式：蓝色是低频，黄色是高频，白色是总和。先在暂停时预测哪部分会先消失，再推进时间，观察总曲线逐渐接近低频形状。这里的边界选择与正文零温杆示例不同，但模式衰减机制相同。

有限个模式相加可以直接利用线性性；无限级数则需要额外条件，才能交换求和、求导并恢复初值。把每个模式代回方程是必要检查，却还没有自动完成一般解理论。这一点将在傅里叶章节继续讨论。

定义 4.3.1　周期热方程的一个模式

在首尾相接的区间 $[0,2\pi]$ 上，取整数频率 $n$ ，考虑 $u(x,t)=A e^{-n^2t}\sin(nx)$ 。扩散系数归一化为一。

命题 4.3.1　正弦模式满足热方程

上述模式满足 $u_t=u_{xx}$ ，且初值为 $u(x,0)=A\sin(nx)$ 。有限个此类模式相加仍满足该方程。

证明 · 展开纸笔推导

对时间求导得到 $-n^2A e^{-n^2t}\sin(nx)$ ；对空间求两次导数得到同一个表达式。整数频率保证周期边界匹配。

对有限和可以逐项求导，故线性组合仍满足方程。推广到无限级数时，逐项求导需要额外收敛条件；有限叠加的验证不自动证明任意初值问题的解存在。

□

数学表述 4.3.1¶

找到形状在扩散中保持、只改变振幅的波形，再将一般初始数据组合成这些模式。高频因弯曲更强而衰减更快。

对 $0<x<L$ 的零温边界，模式为 $u_n(x,t)=b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\, \exp\!\left[-\kappa\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2t\right].$ 因正弦的二阶导数为频率平方的负倍数，代入后两边相等。

例 4.3.1 把概念用于具体计算

取 $L=\pi,\kappa=1$ ， $u=\sin x\mathrm{e}^{-t}+2\sin(3x)\mathrm{e}^{-9t}$ 。第三模式的衰减指数是第一模式的九倍。

练习 4.3.1¶

初值仅为 $\sin(2x)$ ，同样参数下解是什么？

展开解答与检查

$\sin(2x)\mathrm{e}^{-4t}$ 。

Lean 对照 4.3.1 命题、证明与适用边界

完整验证模式振幅的时间导数。空间正弦导数可由微积分模块组合；无限级数解与边界条件未形式化。

DifferentialEquations.heat_mode_decay

theorem heat_mode_decay (κ n t : ℝ) :
    HasDerivAt (fun s : ℝ => Real.exp (-κ*n^2*s))
      (-κ*n^2*Real.exp (-κ*n^2*t)) t := exponential_solution (-κ*n^2) t

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原课对照观课问题、视频与图示

比较低频和高频模式，预测哪一项先衰减，再核对边界条件。

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